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《用均值不等式求最值的方法和技巧》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、用均值不等式求最值的方法和技巧桃源縣第九中學(xué)朱梅芳均值不等式是求函數(shù)最值的一個重要工具，同時也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。下面談?wù)勥\(yùn)用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題的方法和技巧。一、幾個重要的均值不等式①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；②當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”號成立；③當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”號成立；④,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”號成立.注：①注意運(yùn)用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一個重要的不等式鏈：。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個正
2、數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。2、求幾個正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值：①②解析：9①，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成立，故此函數(shù)最大值是1。②，則，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，不等式中的“=”號成立，故此函數(shù)最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在
3、于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。3、用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，則，∵，∴，則，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時，且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，在上有最小值5。解法三：（導(dǎo)數(shù)法）由得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小值5。9解法四：（拆分法），當(dāng)
4、且僅當(dāng)時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。4、條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。解法二：（消元法）由得，由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則，易求得時“=”號成立，故最小值是18。評析：此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯
5、誤的求解方法：。原因就是等號成立的條件不一致。5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是9解法二：由，知，則，由，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。，當(dāng)且僅當(dāng)，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、添、減項（配常數(shù)項） 例1求函數(shù)的最小值. 分析：是二項“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而可
6、與相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項6，即，再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時,等號成立.所以的最小值是.9 評注為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項是常用的一種變形技巧;為了保證式子的值不變，添項后一定要再減去同一項. 2、配系數(shù)（乘、除項） 例2已知，且滿足，求的最大值. 分析,是二項“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是與的和為定值，故應(yīng)先配系數(shù)，即將變形為，再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最大值是.評注本題是已知和為定值，要求積的
7、最大值，可逆用均值不等式，即利用來解決. 3、裂項 例3已知，求函數(shù)的最小值. 分析在分子的各因式中分別湊出，借助于裂項解決問題.9 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號. 所以. 4、取倒數(shù) 例4已知，求函數(shù)的最小值. 分析分母是與的積，可通過配系數(shù)，使它們的和為定值；也可通過配系數(shù)，使它們的和為(這是解本題時真正需要的).于是通過取倒數(shù)即可解決問題. 解由，得，. 取倒數(shù)，得 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號. 故的最小值是. 5、平方 例5已知且求的最大值. 分析條件式中的與
8、都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但帶根號.初看似乎無從下手，但若把所求式平方，則解題思路豁然開朗，即可利用均值不等式來解決.9 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立. 故的最大值是. 評注本題也可將納入根號內(nèi)，即將所求式化為，先配系數(shù)，再運(yùn)用均值不等式的變式. 6、換元（整體思想） 例6求函數(shù)的最大值. 分析可先令，進(jìn)行換元，再使分子常數(shù)化，然后運(yùn)用均值不等式來解決. 7、逆用條件 例7已知,則的最小值是（）. 分析直接利用均值不等式，只能求的最小值，而無法求9的最小值
