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《用均值不等式求最值的方法和技巧》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、用均值不等式求最值的方法和技巧桃源縣第九中學(xué)朱梅芳均值不等式是求函數(shù)最值的一個重要工具,同時也是高考??嫉囊粋€重要知識點。下面談?wù)勥\(yùn)用均值不等式求解一些函數(shù)的最值問題的方法和技巧。一、幾個重要的均值不等式①當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,“=”號成立;②當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,“=”號成立;③當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”號成立;④,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”號成立.注:①注意運(yùn)用均值不等式求最值時的條件:一“正”、二“定”、三“等”;②熟悉一個重要的不等式鏈:。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個正
2、數(shù)和的最小值。例1、求函數(shù)的最小值。解析:,當(dāng)且僅當(dāng)即時,“=”號成立,故此函數(shù)最小值是。評析:利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時,關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(常常是拆底次的式子)等方式進(jìn)行構(gòu)造。2、求幾個正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值:①②解析:9①,∴,當(dāng)且僅當(dāng)即時,“=”號成立,故此函數(shù)最大值是1。②,則,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。,當(dāng)且僅當(dāng),即時,不等式中的“=”號成立,故此函數(shù)最大值是。評析:利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值,關(guān)鍵在
3、于構(gòu)造條件,使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。3、用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y,求的最小值。解法一:(單調(diào)性法)由函數(shù)圖象及性質(zhì)知,當(dāng)時,函數(shù)是減函數(shù)。證明:任取且,則,∵,∴,則,即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時,在上有最小值5。解法二:(配方法)因,則有,易知當(dāng)時,且單調(diào)遞減,則在上也是減函數(shù),即在上是減函數(shù),當(dāng)時,在上有最小值5。解法三:(導(dǎo)數(shù)法)由得,當(dāng)時,,則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時,在上有最小值5。9解法四:(拆分法),當(dāng)
4、且僅當(dāng)時“=”號成立,故此函數(shù)最小值是5。評析:求解此類問題,要注意靈活選取方法,特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性,配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。4、條件最值問題。例4、已知正數(shù)x、y滿足,求的最小值。解法一:(利用均值不等式),當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立,故此函數(shù)最小值是18。解法二:(消元法)由得,由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立,故此函數(shù)最小值是18。解法三:(三角換元法)令則有則,易求得時“=”號成立,故最小值是18。評析:此類問題是學(xué)生求解易錯得一類題目,解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯
5、誤的求解方法:。原因就是等號成立的條件不一致。5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)滿足,試求、的范圍。解法一:由,則,即解得,當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號,故的取值范圍是。又,當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號,故的取值范圍是9解法二:由,知,則,由,則:,當(dāng)且僅當(dāng),并求得時取“=”號,故的取值范圍是。,當(dāng)且僅當(dāng),并求得時取“=”號,故的取值范圍是。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、添、減項(配常數(shù)項) 例1求函數(shù)的最小值. 分析:是二項“和”的形式,但其“積”的形式不為定值.而可
6、與相約,即其積為定積1,因此可以先添、減項6,即,再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以的最小值是.9 評注為了創(chuàng)造條件利用均值不等式,添項是常用的一種變形技巧;為了保證式子的值不變,添項后一定要再減去同一項. 2、配系數(shù)(乘、除項) 例2已知,且滿足,求的最大值. 分析,是二項“積”的形式,但不知其“和”的形式是否定值, 而已知是與的和為定值,故應(yīng)先配系數(shù),即將變形為,再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以的最大值是.評注本題是已知和為定值,要求積的
7、最大值,可逆用均值不等式,即利用來解決. 3、裂項 例3已知,求函數(shù)的最小值. 分析在分子的各因式中分別湊出,借助于裂項解決問題.9 當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號. 所以. 4、取倒數(shù) 例4已知,求函數(shù)的最小值. 分析分母是與的積,可通過配系數(shù),使它們的和為定值;也可通過配系數(shù),使它們的和為(這是解本題時真正需要的).于是通過取倒數(shù)即可解決問題. 解由,得,. 取倒數(shù),得 當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號. 故的最小值是. 5、平方 例5已知且求的最大值. 分析條件式中的與
8、都是平方式,而所求式中的是一次式,是平方式但帶根號.初看似乎無從下手,但若把所求式平方,則解題思路豁然開朗,即可利用均值不等式來解決.9 當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立. 故的最大值是. 評注本題也可將納入根號內(nèi),即將所求式化為,先配系數(shù),再運(yùn)用均值不等式的變式. 6、換元(整體思想) 例6求函數(shù)的最大值. 分析可先令,進(jìn)行換元,再使分子常數(shù)化,然后運(yùn)用均值不等式來解決. 7、逆用條件 例7已知,則的最小值是(). 分析直接利用均值不等式,只能求的最小值,而無法求9的最小值