.微積分基本定理與應(yīng)用

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1、§3.4定積分與微積分基本定理一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1．直觀了解微積分基本定理的含義．2．會求簡單的定積分．3．會用定積分的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題．二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.定積分的定義如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作和式____________________________．當(dāng)時(shí)，上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作___________，在中，___?和___?分別叫做積分下限和積分上限，_______叫做被積函數(shù)，　　叫做積分變量，

2、___________叫做被積式．2．定積分的性質(zhì)（1）＝_______________________________（為常數(shù)）；（2）_______________________________；（3）＝_______________________________（其中）．3．微積分基本定理一般地，如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么＝，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓——萊布尼茲公式3.4定積分與微積分基本定理第22頁共22頁，可以把記作________，即＝___________＝__

3、_________．4．通過定積分的運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0．（1）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于____________________；（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于____________________；（3）當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形的面積等于當(dāng)位于軸下方的曲邊梯形的面積時(shí)，定積分的值為__；定積分的值等于位于軸上方的曲邊梯形的面積______位于軸下方的曲邊梯形的面積．4．定積分求曲邊梯形面積如右圖所示，由三

4、條直線：軸及一條曲線圍成的曲邊梯形的面積為____________：⑴若在區(qū)間上，，則____________⑵若在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，則____________5．勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即____________6．變力作功公式：一物體在變力（單位：N）的作用下作直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與相同的方向從移動(dòng)（單位：m），則力所做的功為____________3.4定積分與微積分基本定理第22頁共22頁三、雙基題目練練手1.下列值等于１

5、的積分是()2.的值?。ā　。?．如圖，直線與拋物線相交，則陰影部分面積為（）4．=（）（）A．B．C．D．5．若，且a＞1，則a的值為（）A．6B．4C．3D．26．已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率，則落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為（）A．B．C．D．7．．3.4定積分與微積分基本定理第22頁共22頁四、經(jīng)典例題做一做【例1】（1）（2）（3）（4）【例2】求兩曲線和所圍成圖形的面積．【例3】一物體在做變速直線運(yùn)動(dòng)，其曲線如圖所示，求該物體在～間的運(yùn)動(dòng)路程．【例4】如圖，陰影部分的面積是（）A．B．C．D．3.4定積

6、分與微積分基本定理第22頁共22頁【例5】拋物線：，若過原點(diǎn)的直線l與拋物線所圍成的圖形面積為，求直線l的方程．五．提煉總結(jié)以為師1．用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限．要借助于求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程去體會定積分的基本思想．2．用微積分基本定理求定積分：關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，運(yùn)用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向上求出．3．利用微積分基本定理求定積分，有時(shí)需先化簡，再積分．4．在利用定積分求平

7、面圖形的面積時(shí)，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形的直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限．5．要把定積分和用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當(dāng)時(shí)要通過絕對值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后相加起來，例如：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊梯形的面積，一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖象以及之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方和面積

8、取負(fù)號．3.4定積分與微積分基本定理第22頁共22頁6．體會定積分的化歸和逼近的思想方法．同步練習(xí)1．下列有定義的定積分為（）A．B．C．D．2．（2007年山東濰坊）（　?。〢．0　　　　B．　　　　C．　　　　D．3．設(shè)a>0，a≠1，若，則a等于（　?。〢．B．C．D．4．（2007年廣東潮州）已知為偶函數(shù)且，則（　　）A．0B．4C．8D．165．的值等于（）A．B．C．D．6．（2007年廣東汕頭）7．使成立的所有可以表示為8．（