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《格林公式、曲線積分與路徑無關(guān)的條件ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積§10.3格林公式及其應(yīng)用上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域區(qū)域的邊界曲線的方向當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時?如果左手在區(qū)域D內(nèi)?則行走方向是L的正向?單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域下頁設(shè)D為平面區(qū)域?如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?則稱D為平面單連通區(qū)域?否則稱為復(fù)連通區(qū)域?定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成?函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?則有其中L是D的取正向的邊界曲線?>>>——格林公式定理證明應(yīng)注意的問題
2、:對復(fù)連通區(qū)域D?格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分?且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向?下頁提示?格林公式:用格林公式計算區(qū)域的面積下頁設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L?則在格林公式中?令P??y?Q?x?則有格林公式:用格林公式計算區(qū)域的面積例1求橢圓x?acosq?y?bsinq所圍成圖形的面積A?設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L?則解設(shè)L是由橢圓曲線?則下頁提示:因此,由格林公式有下頁格林公式:用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域?解因此,由格林公式有下頁格林公式:用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域?解用格林公式求閉曲
3、線積分令P?2xy?Q?x2?則證因此?由格林公式有下頁格林公式:例3設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線?證明提示?解下頁不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?當(dāng)(0?0)?D時?由格林公式得記L所圍成的閉區(qū)域為D?當(dāng)x2?y2?0時?有在D內(nèi)取一圓周l?x2?y2?r2(r>0)?不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?當(dāng)(0?0)?D時?解記L所圍成的閉區(qū)域為D?記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域為D1?應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時針方向?于是二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)下頁設(shè)G是一個開區(qū)域?P(
4、x?y)、Q(x?y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?與路徑無關(guān)?否則說與路徑有關(guān)?如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2?等式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)這是因為?設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線?則L1?(L2-)是G內(nèi)一條任意的閉曲線?而且有下頁二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)定理2(曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法)下頁>>>定理證明應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題(1)區(qū)域G是單連通區(qū)域?(2)函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)
5、偏導(dǎo)數(shù)?如果這兩個條件之一不能滿足?那么定理的結(jié)論不能保證成立?下頁討論?設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?問是否一定成立？提示?>>>解這里P?2xy?Q?x2?選擇從O(0?0)到A(1?0)再到B(1?1)的折線作為積分路線?物線y?x2上從O(0?0)到B(1?1)的一段弧?首頁三、二元函數(shù)的全微分求積表達(dá)式P(x?y)dx?Q(x?y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)?但它未必就是某個函數(shù)的全微分?那么在什么條件下表達(dá)式P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某個二元函數(shù)u(x?y)的全
6、微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時?怎樣求出這個二元函數(shù)呢？二元函數(shù)u(x?y)的全微分為du(x?y)=ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?下頁原函數(shù)如果函數(shù)u(x?y)滿足du(x?y)=P(x?y)dx?Q(x?y)dy?則函數(shù)u(x?y)稱為P(x?y)dx?Q(x?y)dy的原函數(shù).定理證明下頁>>>設(shè)函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?則P(x?y)dx?Q(x?y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x?y)的全微分的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立?定理3求原函數(shù)的公式下頁解這里因為P、Q在右半平面內(nèi)
7、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?且有是某個函數(shù)的全微分?取積分路線為從A(1?0)到B(x?0)再到C(x?y)的折線?半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分?并求出一個這樣的函數(shù)?則所求函數(shù)為下頁結(jié)束例7驗證?在整個xOy面內(nèi)?xy2dx?x2ydy是某個函數(shù)的全微分?并求出一個這樣的函數(shù)?這里P?xy2?Q?x2y?解因為P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?且有所以在整個xOy面內(nèi)?xy2dx?x2ydy是某個函數(shù)的全微分?取積分路線為從O(0?0)到A(x?0)再到B(x?y)的折線?則所求函數(shù)為
