資源描述：
《格林公式、曲線積分與路徑無關的條件ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關的條件三、二元函數(shù)的全微分求積§10.3格林公式及其應用上頁下頁鈴結束返回首頁一、格林公式單連通與復連通區(qū)域區(qū)域的邊界曲線的方向當觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時?如果左手在區(qū)域D內?則行走方向是L的正向?單連通區(qū)域復連通區(qū)域下頁設D為平面區(qū)域?如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D?則稱D為平面單連通區(qū)域?否則稱為復連通區(qū)域?定理1設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成?函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)?則有其中L是D的取正向的邊界曲線?>>>
2、——格林公式定理證明應注意的問題:對復連通區(qū)域D?格林公式右端應包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分?且邊界的方向對區(qū)域D來說都是正向?下頁提示?格林公式:用格林公式計算區(qū)域的面積下頁設區(qū)域D的邊界曲線為L?則在格林公式中?令P??y?Q?x?則有格林公式:用格林公式計算區(qū)域的面積例1求橢圓x?acosq?y?bsinq所圍成圖形的面積A?設區(qū)域D的邊界曲線為L?則解設L是由橢圓曲線?則下頁提示:因此,由格林公式有下頁格林公式:用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域?解因此,由格林公式有下頁格林公式
3、:用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域?解用格林公式求閉曲線積分令P?2xy?Q?x2?則證因此?由格林公式有下頁格林公式:例3設L是任意一條分段光滑的閉曲線?證明提示?解下頁不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?當(0?0)?D時?由格林公式得記L所圍成的閉區(qū)域為D?當x2?y2?0時?有在D內取一圓周l?x2?y2?r2(r>0)?不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?當(0?0)?D時?解記L所圍成的閉區(qū)域為D?記L及l(fā)所圍成的復連通區(qū)域為D1?應用格林公式得其中l(wèi)的方向
4、取順時針方向?于是二、平面上曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關下頁設G是一個開區(qū)域?P(x?y)、Q(x?y)在區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)?與路徑無關?否則說與路徑有關?如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2?等式二、平面上曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關這是因為?設L1和L2是G內任意兩條從點A到點B的曲線?則L1?(L2-)是G內一條任意的閉曲線?而且有下頁二、平面上曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關定理2(曲線積分與路徑無關的判
5、斷方法)下頁>>>定理證明應用定理2應注意的問題(1)區(qū)域G是單連通區(qū)域?(2)函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)?如果這兩個條件之一不能滿足?那么定理的結論不能保證成立?下頁討論?設L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線?L的方向為逆時針方向?問是否一定成立？提示?>>>解這里P?2xy?Q?x2?選擇從O(0?0)到A(1?0)再到B(1?1)的折線作為積分路線?物線y?x2上從O(0?0)到B(1?1)的一段弧?首頁三、二元函數(shù)的全微分求積表達式P(x?y)dx?
6、Q(x?y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結構?但它未必就是某個函數(shù)的全微分?那么在什么條件下表達式P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某個二元函數(shù)u(x?y)的全微分呢？當這樣的二元函數(shù)存在時?怎樣求出這個二元函數(shù)呢？二元函數(shù)u(x?y)的全微分為du(x?y)=ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?下頁原函數(shù)如果函數(shù)u(x?y)滿足du(x?y)=P(x?y)dx?Q(x?y)dy?則函數(shù)u(x?y)稱為P(x?y)dx?Q(x?y)dy的原函數(shù).定理證明下頁>>>設函數(shù)P(x?y)及Q(x?y)
7、在單連通域G內具有一階連續(xù)偏導數(shù)?則P(x?y)dx?Q(x?y)dy在G內為某一函數(shù)u(x?y)的全微分的充分必要條件是等式在G內恒成立?定理3求原函數(shù)的公式下頁解這里因為P、Q在右半平面內具有一階連續(xù)偏導數(shù)?且有是某個函數(shù)的全微分?取積分路線為從A(1?0)到B(x?0)再到C(x?y)的折線?半平面內是某個函數(shù)的全微分?并求出一個這樣的函數(shù)?則所求函數(shù)為下頁結束例7驗證?在整個xOy面內?xy2dx?x2ydy是某個函數(shù)的全微分?并求出一個這樣的函數(shù)?這里P?xy2?Q?x2y?解因為P、Q在
8、整個xOy面內具有一階連續(xù)偏導數(shù)?且有所以在整個xOy面內?xy2dx?x2ydy是某個函數(shù)的全微分?取積分路線為從O(0?0)到A(x?0)再到B(x?y)的折線?則所求函數(shù)為
