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《用不動(dòng)點(diǎn)法探究遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、維普資訊http://www.cqvip.com2006年第5期中學(xué)數(shù)學(xué)研究用不動(dòng)點(diǎn)法探究遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué)(102488)李春雷對問題：若數(shù)列{X}滿足遞推關(guān)系X+l=為公比的等比數(shù)列，所以z+／=4·3一，則(z)，求數(shù)列{X}的通項(xiàng)公式．我們可以嘗試X=4·3L先求出方程X=f(z)的根，即函數(shù)f(z)的不．動(dòng)點(diǎn)，再將遞推公式z+1=f(z)轉(zhuǎn)化為z+1定理2若數(shù)列{X}滿足X+1=2+一口=a(x一口)、x+1一口=a(x一口)、x+1bxn+(口>0)，且a是函數(shù))=2一a、善q、+婦+I二斗a的最小不動(dòng)點(diǎn)，則Xn+l一
2、：口．一，．+!二一r!二、21X、Xz+一一+1一X—(x一口)．證明：由z：：+如+魚三量(形式(其中為函數(shù)，得z：+_b-1z+++b-2)=f(X)的不動(dòng)點(diǎn)，a，q，r為非零常數(shù))．進(jìn)而利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或迭代法求出{z0，所以有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)一b，+，取最小不aaa一}、{}、{—}等形式的輔助數(shù)列的動(dòng)點(diǎn)=一b，則6=一2口a．代入遞推式化簡通項(xiàng)公式，最后求出遞推數(shù)列{z}的通項(xiàng)公式．可得X+1一口=a(x一口)定理1若數(shù)列{X}滿足X+1=+b評注：當(dāng)取最小不動(dòng)點(diǎn)=一時(shí)，有(a{0，1})，且a是函數(shù)f(X)=+b的不z+1一口口(z一
3、a)，此時(shí)z+1+b口(z動(dòng)點(diǎn)，貝4X+1一口=a(x一口)．證明：因?yàn)閍是函數(shù)f(X)=+b的不+動(dòng)點(diǎn)，所以口=口口+b，貝0b—d=一口口．例2巳知數(shù)列{X}滿足X+l=2z+又因?yàn)閤+1=+b，故X+1一口=4z+1，首項(xiàng)X1=1，求數(shù)列{X}的通項(xiàng)公式．+b一=一口，即x+1一口=a(x一)．解：令z=2z+4z+1，則2z+3z+1=評注：令x=+b，可求得f(X)：+0，得(X+1)(2x+1)=0，則X=一1是函數(shù)b的不動(dòng)點(diǎn)為a}上一a，此時(shí)z’+一一上一af(X)=2x+4x+1的最小不動(dòng)點(diǎn)．因?yàn)閄+1L，b、+1=2(z+1)，所以由迭
4、代法，得X+1=2·z一。例1巳知數(shù)列{X}滿足X+1=3x+7，(X一1+1)=212(X一2+1)]=2·2(X一2+1)2=2．22．EZ(z一3+1)2]2=?：2．22．2?首項(xiàng)X1=寺，求數(shù)列{X}的通項(xiàng)公式．2一．(j1+1)一==2+2+2+?+2。一(1+1)2。一解：令X=3x+7，則X=一I．因?yàn)閄+1=2一一1．2一=2一1，貝0z=2一1—1．+吾：3xn+7+7=3z+=3(xn+7)，所定理3若數(shù)列{X}滿足X+1=3+以數(shù)列{z+7}是以Xl+=4為首項(xiàng)，以3如++一(口≠0)，且函數(shù)廠(z)·26·維普資訊http://
5、www.cqvip.com中學(xué)數(shù)學(xué)研究2006年第5期=ax3+2++b3b定理4數(shù)列{z}滿足z+1=ax．+b(一c，則必存在函數(shù)f(z)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)a，使得z+1一a=口(z一≠0，一．bc~O)，函數(shù)，(z)：耋，且首項(xiàng)口)3．z1≠f(z1)．、證明：由z=船3++簍z+一(1)若f(z)有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)Ol、盧，則b得ax3+bx2+(b2蘭!!：二．：!!竺．—一j口，j口1)z+21。圭j口=0．z+1一盧口一z一盧’12(2)若f(x)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)Ol，且口≠因?yàn)榭凇?，所以z3+z2+(一)z+則63_0’X3+b3)+[2+aZn
6、+1j一Ol=南口十口+Z一O1．27口3x6·證明：(1)若有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)Ol，盧，2，—bb—一)z一1j=0)(x2-bz由z=，得2+(一口)z—b=0，3口2，故(一口，j口j口Clz十db2、變形得一船=b—dx，即b—dx=(一I十9—a—2J+口(z+j口)(z一0)_0’即(z+妾j口口)z，則b—da=(COl一口)口．2b·(z+z+)=0，則必存在一根為又因?yàn)閦+1=ax．+b，則z+1一a=b取口=一bax．+b一ji=，，則6=一3口口．代入遞推式，～即一a=．口j口化簡得z+1一口=口(z一口)．同理可得z+一盧=．兩評注
7、：當(dāng)取不動(dòng)點(diǎn)a=一時(shí)，有z+一a=口Xn-G)，此時(shí)-+b=口(z+式相除滑主z篇+1一口一cg’z—p．(2)若只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)a，且口≠一d．例3已知數(shù)列{z}滿足z+1=2z一故z+-一a=一a=3z2+吾z+1，首項(xiàng)z=5，求數(shù)列{z}的通項(xiàng)公式．①解：令z=2X3-3z+3z+1，得2z3—由z=，得2+(一口)z—b=0，3x2+1Clz1_口z+號=0，則(z一)(2x-2z一)又a是唯一不動(dòng)點(diǎn)，則=0，則z=丟是函數(shù)，(z)=2X3-3z2+3zf△=(d-a)2+4bc=06=一②1的+一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．由定理3，知【a=c=③z+-一丟=2(
8、z一1)3，所以由迭代法，得z將③代入②，得6=一_(d-a)2=a，1一=2(
