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《用狄拉克符號(hào)闡述表象理論及表象變換》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、用狄拉克符號(hào)闡述表象理論及表象變換引言我們知道任一力學(xué)量在不同表象中有不同形式，它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間,即某一具體的力學(xué)量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定表象，正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量形式A來(lái)表示一個(gè)矢量，而不用具體坐標(biāo)系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一樣。量子力學(xué)可以不涉及具體表象來(lái)討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本質(zhì)是一個(gè)線性泛函空間，所以該方法所使用的符號(hào)稱為狄拉克符號(hào)。狄拉克符號(hào)能夠簡(jiǎn)潔、靈活地描述量子力學(xué)體系的狀態(tài)。本文用狄拉克符號(hào)全面闡述量子力學(xué)的表象理論，以及量子態(tài)、內(nèi)積、算符、薛定諤方
2、程等的變換，使讀者對(duì)表象理論及表象變換有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。一、Dirac符號(hào)量子力學(xué)的理論描述常采用Dirac符號(hào)。它具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即不依賴于具體表象和運(yùn)算簡(jiǎn)捷。由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間。在這個(gè)空間中，態(tài)用右矢表示，一般寫為，定義在復(fù)數(shù)域上。也可以在右矢內(nèi)填上相應(yīng)的量子數(shù)或本征值來(lái)表示相應(yīng)的態(tài)，如分別表示坐標(biāo)、動(dòng)量和動(dòng)能算符的本征態(tài)，而則表示角動(dòng)量算符的共同本征態(tài)。左矢<
3、表示共軛空間中與
4、>相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢。如等則是上述右矢的共軛態(tài)矢。二、內(nèi)積定義兩個(gè)態(tài)矢和標(biāo)積的形式為，又稱內(nèi)積。且滿足下列關(guān)系若滿足，則稱與正交；若滿足，則稱與是歸一的。若力
5、學(xué)量完全集F的本征態(tài)（分立）記為，則其正交歸一性可寫為對(duì)連續(xù)譜，比如坐標(biāo)算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為；而動(dòng)量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為。三、態(tài)矢的表示下面從狄拉克符號(hào)出發(fā)來(lái)討論一下?tīng)顟B(tài)和力學(xué)量的表象問(wèn)題。現(xiàn)在看來(lái)所謂表象的問(wèn)題實(shí)際上就是選擇基矢量的問(wèn)題，因?yàn)槿魏我粋€(gè)力學(xué)量的本征矢都可以作為基矢量，選擇不同的基矢量，狀態(tài)和力學(xué)量就有各種各樣的表象。（1）分立譜的情況若力學(xué)量完全集F的本征態(tài)記為，則在F表象中，任意態(tài)矢量可以寫為用同上式兩邊作內(nèi)積，有所以有它是在上的投影。用列矢表示為所以可以看作一個(gè)算符，因?yàn)樗饔迷趹B(tài)矢量上后求和，得出的是態(tài)矢量。我們稱這個(gè)算符為投影
6、算符，用表示，即而，顯然，我們稱算符I為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)。（2）連續(xù)譜的情況在這種情況下，上述的求和要用積分代替。比如：在F表象中，兩個(gè)態(tài)矢和之間的內(nèi)積可按如下方法計(jì)算：其中，所以四、算符的表示設(shè)算符的作用用Dirac符號(hào)表示為在F表象中，的矩陣元是用與上面的作用方程作內(nèi)積，有利用前面所得關(guān)系由，則有。上式寫成矩陣的形式，有其中就是算符在F表象中的矩陣表示。的本征方程為，在F表象中左端可以表成可以寫成從而有（即）此方程組有非零解的必要條件為五、薛定諤方程用Dirac符號(hào)，薛定諤方程可寫為在F表象下可表示為即在態(tài)下的平均值用Dirac符號(hào)表示為六、表象變換量
7、子力學(xué)中表象的選取決定于所討論的問(wèn)題，表象選取得適當(dāng)可以使問(wèn)題的處理大為簡(jiǎn)化，因此在討論問(wèn)題時(shí)常常需要從一種表象變換到另一種表象。這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在看來(lái)就是一個(gè)基矢量變換的問(wèn)題。(1)態(tài)的表象變換態(tài)在F表象中用表示，在表象中用表示，則即其中表示兩個(gè)基矢之間的關(guān)系。寫成矩陣的形式，有上式可以簡(jiǎn)寫成其中為么正矩陣，即滿足在F表象中所以，同理可證。(2)算符的表象變換算符在F表象中的矩陣元為，在表象中的矩陣元，而寫成矩陣的形式是、分別為在表象和表象中的矩陣。10110110李明亮
