量子力學(xué)之狄拉克符號系統(tǒng)與表象

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1、Dirac符號系統(tǒng)與表象一、Dirac符號1.引言我們知道任一力學(xué)量在不同表象中有不同形式，它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間,即某一具體的力學(xué)量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定表象，正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量形式A來表示一個矢量，而不用具體坐標(biāo)系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一樣。量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本質(zhì)是一個線性泛函空間，所以該方法所使用的符號稱為Dirac符號。2.態(tài)矢量（1）.右矢空間力學(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，

2、所以本征函數(shù)所對應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡稱基矢）。右矢空間的任一矢量

3、ψ>可按該空間的某一完備基矢展開。例如：（2）.左矢空間右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應(yīng)的左矢量，記為<

4、。右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g，<ψ

5、和

6、ψ>稱為伴矢量。

7、,

8、,

9、組成左矢空間的完備基組，任一左矢量可按其展開，即左矢空間的任一矢量可按左矢空間的完備基矢展開。（3）.伴矢量<ψ

10、和

11、ψ>的關(guān)系

12、ψ>按Q的左基矢

13、Qn>展開：

14、ψ>=a

15、1

16、Q1>+a2

17、Q2>+...+a3

18、Q3>+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：<ψ

19、按Q的左基矢

20、展開：<ψ

21、=a*1

22、+a*2

23、+...+a*n

24、+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：ψ+=(a*1,a*2,...,a*n,...)同理某一左矢量<φ

25、亦可按Q的左基矢展開：<φ

26、=b*1

27、+b*2

28、+...+b*n

29、+...定義

30、ψ>和<φ

31、的標(biāo)積為：。顯然<φ

32、ψ>*=<ψ

33、φ>。對于滿足歸一化條件的內(nèi)積有：。這樣，本征態(tài)的歸一化條件可以寫為：由此可以看出：<

34、ψ

35、和

36、ψ>滿足：a）在同一確定表象中，各分量互為復(fù)共軛；b）由于二者屬于不同空間所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加；c）右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進(jìn)行標(biāo)積運(yùn)算，其結(jié)果為一復(fù)數(shù)。（4）.本征函數(shù)的封閉性a）分立譜展開式：可得：因?yàn)?/p>

37、ψ>是任意態(tài)矢量，所以：b）連續(xù)譜對于連續(xù)譜

38、q>，q取連續(xù)值，任一狀態(tài)

39、ψ>展開式為：因?yàn)?/p>

40、ψ>是任意態(tài)矢量，所以：這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。c）投影算符

41、Qn>

42、或

43、q>

44、的作用相當(dāng)一個算符，它作用在任一態(tài)矢

45、ψ>上，相當(dāng)于把

46、ψ>投影到左基

47、矢

48、Qn>或

49、q>上，即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在

50、Qn>上的分量

51、ψ>或

52、ψ>。故稱

53、Qn>

54、和

55、q>

56、為投影算符。因?yàn)?/p>

57、ψ>在X表象的表示是ψ(x,t)，所以顯然有：在分立譜下：所以。在連續(xù)譜下：所以。上述討論即本征矢的封閉性，其與完備性的區(qū)別如下：正交歸一性的表示式是對坐標(biāo)的積分，封閉性的表示式是對本征值的求和或積分。所以，我們也可以把封閉性解釋為本征函數(shù)對于本征值的求和或積分是正交歸一的。它來自于本征函數(shù)的完備性，也是本征函數(shù)完備性的表示。3.算符（1）.右矢空間X表象下：在一般Dir

58、ac表象下：利用分立譜下的完備性可以得到：寫成矩陣形式為：即Q表象下ψ=Fφ。平均值公式：。利用利用分立譜下的完備性可以得到：（2）.共軛式（右矢空間）從而可以得到：。如果為厄米算符，則有。表明量子力學(xué)中的力學(xué)量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。例：力學(xué)量算符x在動量中的形式即有：故坐標(biāo)算符x在動量表象中取如下形式：4.總結(jié)二、態(tài)的表象到目前為止，體系的狀態(tài)都用坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù)表示，也就是說描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)。力學(xué)量則用作用于坐標(biāo)函數(shù)的算符表示。但是這種描述方式在量子力學(xué)中并不是

59、唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。波函數(shù)也可以選用其它變量的函數(shù)，力學(xué)量則相應(yīng)的表示為作用于這種函數(shù)上的算符。表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。以前采用的是坐標(biāo)表象，下面我們要介紹其他表象。1.動量表象在坐標(biāo)表象中，體系的狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(x,t)描寫，這樣一個態(tài)如何用動量為變量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹。動量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)Ψ可按其展開。展開系數(shù)：，。命題：假設(shè)Ψ(x,t)是歸一化波函數(shù)

60、，則C(p,t)也是歸一。證明：C(p,t)的物理意義：

61、Ψ(x,t)

62、2dx是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果在x→x+dx范圍內(nèi)的幾率。

63、C(p,t)

64、2dp是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的幾率。Ψ(x,t)與C(p,t)一一對應(yīng)，描述同一狀態(tài)。Ψ(x,t)是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)；而C