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《matlab講義一：方程求解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第1章方程求解本章學(xué)習(xí)目的：1．復(fù)習(xí)求解方程的基本原理和方法，掌握解方程的迭代算法；2．能利用MATLAB軟件編寫迭代算法程序，了解迭代過程的圖形表示；3．熟練掌握用MATLAB軟件的函數(shù)來求解方程和方程組；4．通過范例展現(xiàn)求解實際問題的初步建模過程和MATLAB程序設(shè)計?！?.1引言“方程是很多工程和科學(xué)工作的發(fā)動機(jī)”。研究大型的土建結(jié)構(gòu)、機(jī)械結(jié)構(gòu)、輸電網(wǎng)絡(luò)、管道網(wǎng)絡(luò)，研究經(jīng)濟(jì)規(guī)劃、人口增長、種群繁殖等問題時，簡單的分析可以直接歸結(jié)為線性或非線性方程組，復(fù)雜一些要用到（偏）微分方程，求數(shù)值解時將轉(zhuǎn)化為n非常大的方程組。若干世紀(jì)以來，工程師
2、和科學(xué)家花了大量的時間用于求解方程（組），數(shù)學(xué)家研究各種各樣的方程求解方法。本章我們就是要學(xué)習(xí)求解線性方程組、非線性方程（組）的方法，以及利用數(shù)學(xué)軟件利用計算機(jī)對方程和方程組進(jìn)行求解?！?.2方程的求解方法考慮求方程f(x)=0的解，我們通常采用這樣的幾種方法：因式分解法、圖形放大法、數(shù)值迭代逼近法。1．因式分解法：這是我們最熟悉、常用的一種方法，這個方法的關(guān)鍵在分解因式，包括對多項式函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等的分解。但對于無法進(jìn)行分解的函數(shù)則無能為力。2．圖形放大法：由于計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，可以非常方便地作出函數(shù)f(x)的圖形（曲線），找出
3、曲線與x軸的交點的橫坐標(biāo)值，就可求出f(x)＝0的近似根。這些值盡管不精確，但是直觀，方程有多少個根、在什么范圍，一目了然。并且可以借助于計算機(jī)使用圖形局部放大功能，將根定位得更加準(zhǔn)確。3．?dāng)?shù)值迭代逼近法：利用圖形的方法或連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理，可以推知f(x)在某一區(qū)間內(nèi)有根，我們就可以用數(shù)值方法來求方程的根，這就是迭代逼近法。迭代逼近法分為區(qū)間的迭代和點的迭代。區(qū)間迭代又分為對分法和黃金分割法；點的迭代又分為簡單迭代法、單點割線法、兩點割線法、牛頓法等。迭代失敗后又可以采用加速迭代收斂方法。各種迭代方法原理都很簡單（數(shù)值分析課有詳細(xì)介
4、紹），請同學(xué)們自學(xué)。1．2．1圖形放大法用圖形放大法求解方程f(x)＝0的步驟：（1）建立坐標(biāo)系，作曲線f(x)；（2）觀察f(x)與x軸的交點；（3）將其中的一個交點進(jìn)行局部放大；（4）該交點的橫坐標(biāo)值就是方程的一個根；（5）對所有的交點進(jìn)行相同的處理，就得到方程的所有解。例1.1求方程所有的根及大致分布范圍，欲尋求其中的一個實根，并且達(dá)到一定的精度。（1）畫出的圖形；x=-6:0.01:6;y=x.^5+2*x.^2+4;plot(x,y)gridon;我們可以看出方程在－2～＋2范圍有一個實根。（2）逐次縮小范圍得到較精確的根。x=-
5、2:0.01:2;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridonx=-2:0.01:-1.5;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridonx=-1.6:0.01:-1.5;y=x.^5+2.*x.^2+4;plot(x,y)gridon因此我們可以看出這個實根的值在-1.55~-1.5之間。1．2．1簡單迭代法1．迭代算法步驟：對方程f(x)=0求解（1）對方程經(jīng)過簡單變形得到（不是唯一的），x被稱之為不動點；（2）設(shè)置為迭代初值，迭代過程為，n=0,1,2……（3）當(dāng)兩次迭代結(jié)果之差小于某個設(shè)定的誤差
6、值時，我們認(rèn)為迭代結(jié)果是收斂的，可得到結(jié)果的近似值。例1．2求方程的非負(fù)實根。解：由于函數(shù)連續(xù)，并且在x=0和x=1處函數(shù)值符號相反，可以判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）必有零點，即方程在（0，1）內(nèi)必然存在根。（1）先將函數(shù)變形為；（2）設(shè)置迭代初值為0，編程進(jìn)行迭代。n=1;x=0;y=exp(x)/3;ys=vpa(y,10);z=abs(y-x);whilez>10^(-5)x=y;y=exp(x)/3;ys=vpa(y,10);z=abs(y-x);n=n+1;endn,y,ysn=21y=0.6190ys=.6190471917從該結(jié)果
7、可以看出，迭代21次后兩次迭代的結(jié)果誤差值滿足小于的條件，結(jié)果收斂，迭代結(jié)果為0.6190，若保留小數(shù)點后10位有效數(shù)字則結(jié)果為0.6190471917。例1．3用迭代方法求解方程解：（1）對方程變形為，有不同的形式，比如；(a)；(b)；……(c)（2）設(shè)定初始值為1，編程迭代求解x=1;y=1;z=1;fork=1:25x=x^3-x^2-1;y=(y^2+y+1)^(1/3);z=1+1/z+1/z^2;endx,y,z在程序中，函數(shù)x,y,z分別對應(yīng)方程（a）（b）（c），從結(jié)果可以看出方程（a）不收斂，結(jié)果趨于負(fù)無窮大，方程(b)
8、(c)收斂，結(jié)果為1.8393。而且，還可證明（b）比（c）收斂速度快。注：這段程序和例1.2有所不同，這里是設(shè)定了固定的迭代次數(shù)。2．迭代失敗的改進(jìn)：加速迭代收斂方法例1.3中
