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《矢量分析與場論_2》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第二章場論場論是研究某些物理量在空間中的分布狀態(tài)及其運動形式的數(shù)學理論，它的內容是進一步深入研究電磁場及流體等的運動規(guī)律的基礎，也是學習某些后繼課程的基礎，本章主要介紹場論中幾個基本概念（梯度、散度、旋度）以及它們的應用?！?.1場1、場的概念設有一個區(qū)域（有限或無限），如果內每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在區(qū)域中確定了該物理量的一個場。若該物理量是數(shù)量，則稱此場為數(shù)量場；若是矢量，則稱此場為矢量場。例如溫度場、密度場、電位場等為數(shù)量場，而力場、速度場等為矢量場。此外，若物理量在場中各點處的對應值不隨時間而
2、變化，則稱該場為穩(wěn)定場；否則，稱為不穩(wěn)定場。后面我們只討論穩(wěn)定場（當然，所得的結果也適合于不穩(wěn)定場的每一瞬間情況）。在數(shù)學上給定一個數(shù)量場就相當于給定了一個數(shù)性函數(shù)；同樣，給定了一個矢量場就相當于給定了一個矢性函數(shù)A=A，其中表示區(qū)域中的點。當取頂了直角坐標系以后，空間中的點由它的三個坐標所確定，因此，一個數(shù)量場可以用一個數(shù)性函數(shù)（2.1.1）來表示。同樣，一個矢量場可用一個矢性函數(shù)A=A（2.1.2）來表示。從數(shù)學觀點看，數(shù)量場的概念與點函數(shù)概念相比沒有新的內容，向量場的概念與向量函數(shù)相比沒有新的內容，但是為了強調場這個
3、概念的起源與物理意義，我們仍用“場”的有關術語重述前面有關章節(jié)的內容，并賦予它新的含義。2、數(shù)量場的等值面在數(shù)量場中，為了直觀地研究數(shù)量在場中的分布狀況，我們引入等值面的概念。所謂等值面，是指由場中使函數(shù)取相同數(shù)值的點所組成的曲面。例如電位場中的等值面，就是由電位相同的點所組成的等值面。顯然，數(shù)量場的等值面方程為（C為常數(shù)）。由隱函數(shù)存在定理知道，在函數(shù)為單值，且連續(xù)偏導數(shù)不全為零時，這種等值面一定存在。給常數(shù)以不同的數(shù)值，就得到不同的等值面。這些等值面充滿了數(shù)量場所在的空間，而且互不相交。這是原因數(shù)量場中的每一點都有一等
4、值面（2.1.3）通過；而且由于函數(shù)為單值，一個點就只能在一個等值面上。例2.1.1求數(shù)量場經過點的等值面方程。解數(shù)量場的等值面族是或以代入上式得，。于是經過點的等值面方程為或同樣，在函數(shù)所表示的平面數(shù)量場中，具有同數(shù)值的點，就組成此數(shù)量場的等值線：比如地形圖上的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等，都是平面數(shù)量場中等值線的例子。3、矢量場的矢量線在前面，我們已經等值面來形象地描繪了數(shù)量場。對于矢量場A，也可以用它的矢量線來形象地描繪它。設A=A的坐標表示式為A=i+j+k其中函數(shù)為矢量A的三個坐標，以后若無特別申明，
5、都假定它們?yōu)閱沃?、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導數(shù)。矢量A的矢量線是這樣的曲線，在它上面每一點的切線方向和對應于該點的矢量A的方向相同，如圖2.1.1。下面討論怎樣求出矢量場A的矢量線方程。設為矢量線上任一點，其矢徑為rijk則微分rijk位于矢量線的切線上。由兩矢量平行，其對應反量必成比例，可得矢量線的微分方程（2.1.6）解之，可得矢量線族。在A不為零的假定下，由微分方程的存在定理知道，當函數(shù)為單值、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導數(shù)時，這族矢量線不僅存在，并且也充滿了矢量場所在的空間，而且互不相交。在流體力學中，矢量線就是流速場中的流線，
6、在物理學的靜電場中，矢量線是電力線，而在磁場中，矢量線是磁力線。顯然對于場中的任意一條矢量線（非矢量線），在其上的每一點處，必有且僅有提條矢量線通過，這些矢量線的全體，就構成一張通過曲線的曲面，稱為矢量面（圖2.1.2）。顯然在矢量面上的任一點處，場的對應矢量A都位于此矢量面在該點的切平面內。特別，當為一封閉曲線時，通過的矢量面，就構成一管形曲線，又稱之為矢量管（圖2.1.3）。例2.1.2設點電荷位于坐標原點，則在其周圍空間的任一點處所產生的電場強度為Er（2.1.7）其中為介電系數(shù)，rijk為點的矢徑；而r
7、，求電場強
8、度E的矢量線。解由（2.1.7）式Eijk）則矢量線所應滿足的微分方程為從而有解得（為任意常數(shù)）這就是電場強度E的矢量線方程。其圖形是一族從坐標原點出發(fā)的射線，在電學中稱為電力線?！?.2數(shù)量場的方向導數(shù)和梯度因為函數(shù)就表示一個數(shù)量場，所以函數(shù)的向導數(shù)和梯度也稱為數(shù)量場的方向導數(shù)和梯度，本節(jié)將進一步討論它們的性質及運算法則。1、方向導數(shù)由上節(jié)知道，域上的數(shù)量場中，數(shù)量的分布狀況可以借助于等值面或等值線來進行了解。但是這只能大致地了解到數(shù)量場在場中的總分布情況，是一種整體性的了解。而研究數(shù)量場的另一個重要方面，就是要對它作局
9、部性的了解，考察數(shù)量在場中各點領域內沿每一方向的變化情況。也就是要考察函數(shù)在域中各點處沿每一方向的方向導數(shù)。2、數(shù)量場的梯度為使討論簡便計，我們首先研究平面數(shù)量場。給定一平面數(shù)量場，相當于給定了一個二元函數(shù)。首先，我們將討論函數(shù)沿平面上任一方向的變化率。設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，自點引射線，它與軸正
