數(shù)學(xué)規(guī)劃 (最速下降法,c語言編程)

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1、數(shù)學(xué)規(guī)劃課程設(shè)計題目：用最速下降法求解無約束非線性規(guī)劃問題姓名：學(xué)號：成績：2011年6月8用最速下降法求解無約束非線性規(guī)劃問題摘要：無約束非線性規(guī)劃問題是一類重要的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。文主要研究了用最速下降法也就是梯度法對無約束非線性規(guī)劃問題進行求解。對于一個無約束非線性規(guī)劃利用最速下降法求解，首先需要確定其優(yōu)化方向，此優(yōu)化方向應(yīng)該選擇為f在當(dāng)前點處的負(fù)梯度方向，利用一維搜索法找出沿此方向上的最小值及其對應(yīng)點，此后將該點作為新的出發(fā)點重復(fù)上述過程，直到達到允許的誤差為止。本文最后利用c++語言編程得到滿足允許

2、誤差內(nèi)的最優(yōu)解。本文主要對一個無約束非線性規(guī)劃問題的實例，首先利用上述迭代的方法，計算出各迭代點的函數(shù)值，梯度及其模。然后應(yīng)用c++語言編程，得到精確地最優(yōu)解，需迭代六次才使得，得到的最優(yōu)解為，。關(guān)鍵詞：最速下降法無約束非線性規(guī)劃最優(yōu)解8一、問題重述用最速下降法求解無約束非線性規(guī)劃問題：，設(shè)初始點取為,迭代到滿足允許誤差=0.01為止的精確解。二、問題分析2.1無約束非線性問題的最優(yōu)條件該問題是一個無約束非線性規(guī)劃問題，利用最少下降法求解該問題，無約束非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解所要滿足的必要條件和充分條件是我

3、們設(shè)計算法的依據(jù)，為此有以下幾個定理。定理1設(shè)f：在點處可微，若存在，使，則向量p是f在點處的下降方向。定理2設(shè)f：在點處可微，若是無約束問題的局部最優(yōu)解，則有數(shù)學(xué)分析中我們已經(jīng)知道，使的點x為函數(shù)f的駐點或平穩(wěn)點。函數(shù)f的一個駐點可以是極小值點；也可以是極大值點；甚至也可能既不是極小值點也不是極大值點，因此稱它為函數(shù)f的鞍點，以上定理告訴我們，是無約束問題的局部最優(yōu)解的必要條件是：是其目標(biāo)函數(shù)f的駐點。定理3設(shè)f：在點處的Hesse矩陣存在，若，并且正定，則是無約束非線性問題的嚴(yán)格局部最優(yōu)解。一般而言，

4、無約束非線性問題的目標(biāo)函數(shù)的駐點不一定是無約束非線性問題的最優(yōu)解，但對于其目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)的無約束凸規(guī)劃，下面定理證明了它的目標(biāo)函數(shù)的駐點就是它的整體最優(yōu)解。定理4設(shè)f：，，f是上的可微凸函數(shù)。若有，則是無約束問題的整體最優(yōu)解。2.2最速下降法的基本思想8最速下降法又稱為梯度法，是1847年由著名數(shù)學(xué)家Cauchy給出的，他是解析法中最古老的一種，其他解析方法或是他的變形，或是他的啟發(fā)得到的，因此它是最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。設(shè)無約束非線性規(guī)劃問題中的目標(biāo)函數(shù)f：在點處可微。最速下降法的基本思想是：從當(dāng)前點出發(fā)，

5、取函數(shù)在點處下降最快的方向作為我們收索方向，由的Taylor展示知，略去的高階無窮小項不計，可見取時，函數(shù)值下降的最多，于是，我們可以夠造出最速下降法的迭代步驟。2.3無約束非線性規(guī)劃問題的迭代步驟解無約束非線性規(guī)劃問題的最速下降法計算步驟第1步選取初始點，給定終止誤差>0，令k=0；第2步計算，若，停止迭代，輸出，否則進行第3步；第3步?。坏?步進行一維搜索，求，使得，令，k=k+1。轉(zhuǎn)第2步。由以上計算步驟可知，最速下降法迭代終止時，求得的是目標(biāo)函數(shù)駐點的一個近似點。三、問題求解3.1對原無約束非線性

6、規(guī)劃迭代首先進行第一次迭代8則令，即=0，解得：所以，此時，又因為則進行第二次迭代則令，代入即可解得：所以此時，又因為則進行第三次迭代則令，代入即可解得：所以此時，又因為則進行第四次迭代8則令，代入即可解得：所以此時，又因為以上仍然沒有達到要求，即還需繼續(xù)迭代，直到滿足為止。3.2對原無約束非線性規(guī)劃進行c++語言編程求解就這樣無限的迭代下去，直到為止，為此，我們可以用c++語言編程得到，其算法設(shè)計如下圖（圖3-1）停取，k:=0計算是否求令k:=k+18圖（3-1）利用c++語言編程（源代碼如下）：#i

7、nclude#includedoublelambda(doublex[2],doublep[2],doublea[2]){doublelam1,lam2;lam1=4*(pow(a[0],3)*x[0]*x[0]+pow(a[1],3)*x[1]*x[1]);lam2=-4*(pow(a[0]*x[0],2)+pow(a[1]*x[1],2));doubles;s=-lam2/(2*lam1);returns;}voidmain(){doublelamb,x[2],

8、a[2],p[2],g[2],e=0.01,y;inti=0;x[0]=4.0;x[1]=4.0;cout<<"輸入函數(shù)的系數(shù)：a[0],a[1]:"<>a[i];p[0]=2*a[0]*x[0];p[1]=2*a[1]*x[1];g[0]=-p[0];g[1]=-p[1];i=0;//開始迭代將次數(shù)賦值為0cout<