彈塑性力學(xué)講義應(yīng)力

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1、彈塑性力學(xué)講義應(yīng)力第1章應(yīng)力1.1應(yīng)力矢量物體受外力作用后，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。為了描述內(nèi)力場，Chauchy引進(jìn)了應(yīng)力的重要概念。對于處于平衡狀態(tài)的物體，假想使用一個過P點(diǎn)的平面C將其截開成A和B兩部分。如將B部分移去，則B對A的作用應(yīng)以分布的內(nèi)力代替?？疾炱矫鍯上包括P點(diǎn)在內(nèi)的微小面積，如圖1.1所示。設(shè)微面外法線（平面C的外法線）為n，微面面積為?S，作用在微面上的內(nèi)力合力為?F，則該微面上的平均內(nèi)力集度為?F/?S，于是，P點(diǎn)的內(nèi)力集度可使用應(yīng)力矢量T(n)，定義為T(n)=limC?F?S?s?0??SzAPnFy圖1.1應(yīng)力矢量定義在笛卡兒坐

2、標(biāo)系下，使用ex，ey和ez表示坐標(biāo)軸的單位基矢量，應(yīng)力矢量可以表示為T(n)=Txex+Tyey+Tzez（1.1）式中Tx、Ty和Tz是應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸的分量。上篇彈性力學(xué)第1章應(yīng)力除進(jìn)行公式推導(dǎo)外，通常很少使用應(yīng)力矢量的坐標(biāo)分量Tx、Ty和Tz。實(shí)際應(yīng)用中，往往需要知道應(yīng)力矢量沿微面法線方向和切線方向的分量，沿法線方向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，沿切線方向的應(yīng)力分量稱為剪應(yīng)力。顯而易見，應(yīng)力矢量的大小和方向不僅取決于P點(diǎn)的空間位置，而且還與所取截面的法線方向n有關(guān)，即作用在同一點(diǎn)不同法線方向微面上的應(yīng)力矢量不同。所有這些應(yīng)力矢量構(gòu)成該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。由應(yīng)力矢量的定義并結(jié)合作用力與反作用力定

3、律，在同一點(diǎn)，外法線為?n微面上的應(yīng)力矢量為：T(?n)=?T(n)（1.2）1.2應(yīng)力張量人們討論問題常常是在笛卡兒坐標(biāo)中進(jìn)行，因此，我們使用六個與坐標(biāo)面平行的平面從圖1.1中P點(diǎn)的鄰域截取一個微六面體，如圖1.2所示。在這個微六面體中，若微面的外法線方向與坐標(biāo)正方向一致，則稱為正面；若與坐標(biāo)正方向相反，則稱為負(fù)面。因此有三個正面和三個負(fù)面。圖1.2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)8上篇彈性力學(xué)第1章應(yīng)力考察作用在法線為ex，ey和ez三個正面上的應(yīng)力矢量T(ex)、T(ey)和T(ez)，每個應(yīng)力矢量沿空間坐標(biāo)軸ex，ey和ez有三個分量，其中一個分量垂直于作用面，是正應(yīng)力，兩個分量平行于作用面，是剪

4、應(yīng)力，于是T(ex)＝?xex+?xyey+?xzezT(ey)＝?yxex+?yey+?yzezT(ez)＝?zxex+?zyey+?zez（1.3）三個應(yīng)力矢量共9個分量，構(gòu)成應(yīng)力張量在笛卡兒坐標(biāo)系下的9個分量??x?xy?xz???yx?y?yz???zx?zy?z?????對角上的元素是正應(yīng)力，非對角上的元素是剪應(yīng)力，剪應(yīng)力有兩個下標(biāo)，前一個下標(biāo)代表作用面的法線方向，后一下標(biāo)代表力的作用方向。在使用張量表述的教科書里，下標(biāo)x、y、z往往用1、2、3取代，九個應(yīng)力分量常記為：??11?12?13?????21?22?23????31?32?33????ij應(yīng)力正、負(fù)號規(guī)定是：正面上

5、的應(yīng)力若指向坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎駝t為負(fù)；負(fù)面的應(yīng)力若指向坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，否則為負(fù)。這個規(guī)定正好反映了作用力與反作用力定律。圖1.2中的應(yīng)力均為正值。式（1.3）使用張量可以表示為T(ei)＝?ikek（1.3a）應(yīng)當(dāng)指出：物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一般說來是不同的，為非均勻分布，即各點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)為空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。所以，應(yīng)力張量?ij與給定的空間位置有關(guān)，提及應(yīng)力張量總是針對物體中的某一確定點(diǎn)而言的。從下節(jié)中我們將知道，應(yīng)力張量?ij完全確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。1.3Chauchy公式（斜面應(yīng)力公式）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中，若已知三個互相垂直面上的應(yīng)力矢量，其它任意一斜面上9上篇彈性力學(xué)

6、第1章應(yīng)力的應(yīng)力矢量可從該點(diǎn)的平衡條件中導(dǎo)出。圖1.3所示的微四面體由三個負(fù)面和一個斜面組成，設(shè)斜面的外法線單位矢量為n＝lex+mey+nez（1.3b）斜面?ABC的面積為dS，則三個負(fù)面的面積分別是?BOC=ldS?AOC=mdS?AOB=ndS四面體的體積為dV=式中dh是四面體的高。zCT(-ex)13dhdSnT(-ey)z?T(n)?exyT(-ez)y?圖1.3四面體上的應(yīng)力矢量由微四面體的平衡條件得：T(n)dS+T(?ex)ldS+T(?ey)mdS+T(?ez)ndS+X13dhdS=0式中X是單位體積力矢量，T(?ex)、T(?ey)和T(?ez)分別是法向?yàn)?e

7、x，?ey和?ez微面上的應(yīng)力矢量。上式中的最后一項(xiàng)是比前面項(xiàng)高一階的小量，可忽略不計(jì)，考慮式（1.2），上式可表示為T(n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n（1.4）這就是著名的Chauchy公式，又稱為斜截面應(yīng)力公式，其實(shí)質(zhì)是微四面體的平衡條10上篇彈性力學(xué)第1章應(yīng)力件。將斜面應(yīng)力矢量T(n)沿坐標(biāo)軸方向分解T(n)＝Txex+Tyey+Tzez（1.5）注意：Tx、Ty、Tz是T(n)沿坐標(biāo)軸方向的分量，一般不是斜截