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《代數(shù)學引論(近世代數(shù))第一章答案》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第一章???????代數(shù)基本概念?習題解答與提示(P54)?1.???如果群G中,對任意元素a,b有(ab)2=a2b2,則G為交換群.證明:對任意a,bG,由結(jié)合律我們可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知條件以及消去律得到ba=ab,由此可見群G為交換群.?2.???如果群G中,每個元素a都適合a2=e,則G為交換群.證明:[方法1]對任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G為交換群.[方法2]對任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一題的結(jié)論可知G為交換群.?3.
2、???設G是一非空的有限集合,其中定義了一個乘法ab,適合條件:(1)??a(bc)=(ab)c;(2)??由ab=ac推出a=c;(3)??由ac=bc推出a=b;證明G在該乘法下成一群.證明:[方法1]設G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一個數(shù)字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiakaj------------<1>aiakajak------------<2>再由乘法的封閉性可知G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------<3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}----
3、--------<4>由<1>和<3>知對任意atG,存在amG,使得akam=at.由<2>和<4>知對任意atG,存在asG,使得asak=at.由下一題的結(jié)論可知G在該乘法下成一群.?下面用另一種方法證明,這種方法看起來有些長但思路比較清楚。[方法2]為了證明G在給定的乘法運算下成一群，只要證明G內(nèi)存在幺元(單位元)，并且證明G內(nèi)每一個元素都可逆即可.為了敘述方便可設G={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)證明G內(nèi)存在幺元.<1>存在atG，使得a1at=a1.(這一點的證明并不難，這里不給證明);<2>證明a1at=ata1;因為a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a
4、1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,故此a1(ata1)at=a1(a1at)at.由條件(1),(2)可得到a1at=ata1.<3>證明at就是G的幺元;對任意akG,a1(atak)=(a1at)ak=a1ak由條件(2)可知atak=ak.類似可證akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ)證明G內(nèi)任意元素都可逆；上面我們已經(jīng)證明G內(nèi)存在幺元，可以記幺元為e，為了方便可用a,b,c,…等符號記G內(nèi)元素.下面證明任意aG，存在bG，使得ab=ba=e.<1>對任意aG，存在bG，使得ab=e;(這一點很容易證明這里略過.)<2>證明ba=ab=e;因為a(
5、ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由條件(2),(3)知ba=ab.因此G內(nèi)任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及條件(1)可知G在該乘法下成一群.?4.???設G是非空集合并在G內(nèi)定義一個乘法ab.證明:如果乘法滿足結(jié)合律,并且對于任一對元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分別在G內(nèi)恒有解，則G在該乘法下成一群.證明：取一元aG,因xa=a在G內(nèi)有解,記一個解為ea,下面證明ea為G內(nèi)的左幺元.對任意bG,ax=b在G內(nèi)有解,記一個解為c,那么有ac=b,所以eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,因此ea為G內(nèi)的左幺元.再者對任意dG,xd=ea在G
6、內(nèi)有解,即G內(nèi)任意元素對ea存在左逆元,又因乘法滿足結(jié)合律,故此G在該乘法下成一群.?[總結(jié)]群有幾種等價的定義:(1)??幺半群的每一個元素都可逆，則稱該半群為群.(2)??設G是一個非空集合，G內(nèi)定義一個代數(shù)運算，該運算滿足結(jié)合律,并且G內(nèi)包含幺元,G內(nèi)任意元素都有逆元,則稱G為該運算下的群.(3)??設G是一個非空集合，G內(nèi)定義一個代數(shù)運算，該運算滿足結(jié)合律,并且G內(nèi)包含左幺元,G內(nèi)任意元素對左幺元都有左逆元,則稱G為該運算下的群.(4)??設G是一個非空集合，G內(nèi)定義一個代數(shù)運算，該運算滿足結(jié)合律,并且對于任一對元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分別在G內(nèi)恒有解，則稱G為該運算下
7、的群.值得注意的是如果一個有限半群滿足左右消去律,則該半群一定是群.?5.???在S3中找出兩個元素x,y,適合(xy)2x2y2.[思路]在一個群G中，x,yG,xy=yx(xy)2x2y2(這一點很容易證明).因此只要找到S3中兩個不可交換的元素即可.我們應該在相交的輪換中間考慮找到這樣的元素.解:取x=,y=那么(xy)2=x2y2.?[注意]我們可以通過mathematica軟件編寫Sn的
