資源描述：
《齊次線性方程組 .線性方程組》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126齊次線性方程組4.線性方程組126第4章線性方程組的數(shù)值解法14.1預(yù)備知識(shí)4.1.1線性方程組的數(shù)值解
2、法線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：1.直接法(消元法)經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算，求得方程組精確解的方法.但實(shí)際計(jì)算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法只能求得線性方程組的近似解.2.迭代法126用某種極限過(guò)程逐步逼近線性方程組精確解的方法.24.1.2向量和矩陣用Rm′n表示全部m′n實(shí)矩陣的向量空間，Cm′n表示全部m′n復(fù)矩陣的向量空間.A?Rm′néa11a12La1nùêaúaLa2nú?A=(aij)=ê2122êMMMúêú?am1am2Lamn?這種實(shí)數(shù)排成的矩形表，稱為m行n列矩陣.éx1ùêxúx?Rn?x=ê2úêMúêú?x
3、n?稱為n126維列向量.3矩陣A可以寫成列向量的形式A=(a1a2Lan),其中ai為A的第i列.也可寫成行向量的形式?a1T?T?a2A=??M?aTèm?÷÷÷,÷÷?其中aiT為A的第i126行.4矩陣的基本運(yùn)算：(1)矩陣加法C=A+B,cij=aij+bij(A,B,C?Rm′n)(2)矩陣與標(biāo)量的乘法C=aA,(3)矩陣與矩陣乘法C=AB,ncij=aaij.cij=?aikbkj(A?Rm′n,B?Rn′p,C?Rm′p).k=1(4)轉(zhuǎn)置矩陣A?Rm′n,C=AT,cij=aij.(5)單位矩陣I=(e1e2Len)?Rn
4、′n126,5其中ek=(0,L,0,1,0,L,0),k=1,2,L,n.T(6)非奇異矩陣設(shè)A?Rn′n,B?Rn′n.如果AB=BA=I,則稱B是-1TT-1A的逆矩陣，記為A-1,且(A)=(A).如果A-1存在，則稱A為非奇異矩陣.如果A,B?Rn′n均為非奇異矩陣，則(AB)(7)矩陣的行列式設(shè)A?Rn′n,則A的行列式可按任一行(或列)展開(kāi)，6-1=B-1A-1126.即det(A)=?aijAijj=1n(i=1,2,L,n),其中Aij為aij的代數(shù)余子式，Aij=(-1)i+jMij,Mij為元素aij的余子式.行列式性
5、質(zhì)：(a)det(AB)=det(A)det(B),A,B?Rn′n.(b)det(AT)=det(A),A?Rn′n.(c)det(cA)=cndet(A),c?R,A?Rn′n.(d)det(A)10?A是非奇異矩陣126.74.1.3特征值與譜半徑量?XRn，使得AX=λX，則稱λ為矩陣A的特征值，X為A的特征向量。A的全體特征值的集合稱為A的譜σ(A),A的特征值的絕對(duì)值的最大值稱為-的譜半徑ρa(bǔ)-a(A).L-a??lA11121n?÷l-a22L-a2n÷?-a21j(l)=det(lI-A)=det?MMOM÷?÷?-a-an
6、2Ll-ann÷n1è?=ln-(a11+a22+L+ann)ln-1+(次數(shù)￡n-2的項(xiàng))定義1.設(shè)A=(aij)n*n?Rn*n,126若存在數(shù)據(jù)λ，和非0向?yàn)榫仃嘇的特征多項(xiàng)式.8j(l)=det(lI-A)=0為A的特征方程,一般有n個(gè)根,稱為A的特征值.tr(A)=?aii=?lii=1i=1nndet(A)=l1l2Llntr(A)為A的跡。若存在可逆矩陣S，使B=S-1AS，稱B為A的相似126矩陣。94.1.4特殊矩陣設(shè)A=(aij)?Rn′n.(1)(2)(3)(4)對(duì)角矩陣如果當(dāng)i1j時(shí)，aij=0.三對(duì)角矩陣如果當(dāng)i-
7、j>1，aij=0.上三角矩陣如果當(dāng)i>j時(shí)，aij=0.對(duì)稱矩陣如果AT=A.(5)正交矩陣如果A-1=AT126.10定理1設(shè)A?Rn′n，則下述命題等價(jià)：(1)對(duì)任何b?Rn,方程組Ax=b有唯一解.(2)齊次方程組Ax=0只有唯一解x=0.(3)det(A)10.(4)A-1存在.(5)A的秩rank(A)=n126.114.2高斯消去法(消元法)124.2.1設(shè)有線性方程組高斯消去法ìa11x1+a12x2+L+a1nxn=b1,?ax+ax+L+ax=b,?2112222nn2í?LLLLLLLLLLL??am1x1+am2x2
8、+L+amnxn=bm.a或?qū)憺榫仃囆问??11?a21?M??aèm1a12La22LMam2La1na2nMamn??÷?÷?÷?÷?÷??èx1x2Mxn（2.1）??b1
