一階常微分方程解法 一階常微分方程初等解法

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1、一階常微分方程解法一階常微分方程初等解法導(dǎo)讀：就愛(ài)閱讀網(wǎng)友為您分享以下“一階常微分方程初等解法”的資訊，希望對(duì)您有所幫助，感謝您對(duì)92to.com的支持!一階常微分方程初等解法摘要:本文通過(guò)對(duì)一階微分方程的初等解法的歸納與總結(jié)，以及對(duì)變量分離，積分因子，微分方程等各類(lèi)初等解法的簡(jiǎn)要分析，同時(shí)結(jié)合例題把常微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題，進(jìn)行求解.關(guān)鍵詞:一階常微分方程;變量變換;恰當(dāng)微分方程;積分因子First-orderDifferentialEquationWithThePirmaryMethodFor9NalysisAbstract:Basedont

2、hefirst-orderdifferentialequationsoftheelementarysolutionoftheinductionandconclusion,andtheseparationofvariables,integratingfactor,equations,etc.summaryanalysisofvariouselementarysolution,combinedwithexamplestheproblemofsolvingordinarydifferentialequationsintointegralontheproblem

3、solving.KeyWords:First-orderdifferentialequation;caindeclinedequations;variabletransformation;appropriatedifferentialequation;integratingfactor1.預(yù)備知識(shí)1.1變量分離方程形如dy?f(x)?(y)(1)dx9的方程，稱(chēng)為變量分離方程，f(x)，?(y)分別是x，y的連續(xù)函數(shù).這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的一階函數(shù)．如果?(y)?0，我們可將(1)改寫(xiě)成了.兩邊積分，得到dy??(y)??f(x)dx?c，dy?f(x)dx，

4、這樣變量就分離開(kāi)來(lái)?(y)c為任意常數(shù)．由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)?y(x,c)就是常微分方程(1)的解．1.2積分因子恰當(dāng)微分方程可以通過(guò)積分求出它的通解．因此能否將一個(gè)非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程就有很大的意義．積分因子就是為了解決這個(gè)問(wèn)題引進(jìn)的概念．如果存在連續(xù)可微函數(shù)????x,y??0，使得??x,y?M?x,y?dx???x,y?N?x,y?dy?0為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)u，使9?Mdx??Ndy?du，則稱(chēng)??x,y?為方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的積分因子．函數(shù)??x,y?為M?x,y?dx?N?x,y?dy?0積分

5、因子的充要條件是?(?M)?(?N)?，?y?x即N?????M?N?M?(?)?．?x?y?y?x???0，則?為原方程的積?x假設(shè)原方程存在只與x有關(guān)的積分因子????x?，則(?M?N?)???M?N?y?x?(?)?，即??x??分因子的充要條件是僅是關(guān)于x的函N?x?y?x數(shù)．此時(shí)可求得原方程的一個(gè)積分因子為??e?9(??x?dx．同樣有只與y有關(guān)的積分?M?N?)?y?x因子的充要條件是??y??是僅為y的函數(shù)，此時(shí)可求得方程(11)的一?M個(gè)積分因子為??e???y?dy1.3恰當(dāng)微分方程考慮微分形式的一階微分方程M?x,y?dx?N?x

6、,y?dy?0(11)，如果該式的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u?x,y?的全微分，即M?x,y?dx?N?x,y?dy?du?x,y???u?udx?dy?x?y則稱(chēng)(11)為恰當(dāng)微分方程．對(duì)于一階微分方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0，若有?M?N，則該方程必為恰當(dāng)微分方程．我們接著討論如何求得該恰當(dāng)微??y?x?u?M?x,y?看作只關(guān)于自變量x的函數(shù)，對(duì)它積分可?x分方程的解．我們可以把9得u??M?x,y?dx???y?，由此式可得d??y??u?，??M?x,y?dx??x?xdy又因?yàn)橛?u?N?x,y?，故?xd??y???N??M?x

7、,y?dx，dy?x對(duì)該式積分可得??y????N?????Mx,ydxdy，????x??將該式代入，得恰當(dāng)微分方程的通解為???Mx,ydx?N?Mx,ydxdy?c．??????????x??2.基本方法2.1一般變量分離9形如dy?f(x)?(y)(1)dx的方程，稱(chēng)為變量分離方程，f(x)，?(y)分別是x，y的連續(xù)函數(shù).這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的一階函數(shù)．如果?(y)?0，我們可將(1)改寫(xiě)成兩邊積分，得到dy?f(x)dx，這樣變量就分離開(kāi)來(lái)了.?(y)dy??(y)??f(x)dx?c，c為任意常數(shù)．由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)?y(x,c)就是常微

8、分方程(1)的解．2.2齊次微分方程2.2.1齊次微分方程類(lèi)型一一階線性微分方程