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《_一階常微分方程的初等解法_研究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、年第期阜陽師羌范學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版總第期“”一階常微分方不顯的初等解法研究李豐祥林?jǐn)?shù)肴學(xué)系“一階常微分方程的初等解法”教,“”提要本文介紹了學(xué)中對含教材處理的幾種方法和技巧并給出了關(guān)于積分因子的兩個(gè)定,,。關(guān)鍵詞微分方程變量代換積分因子,。一階常微分方程的初等解法就是把微分方杜程的求解問題化為積分問題能用這種方法求解的。,微分方程稱為可積方程類似于不定積分在微積崔分學(xué)中的作用初等積分法是常微分方程這門學(xué)科最重要的基礎(chǔ)訓(xùn)練之一。這一內(nèi)容大致可分為三注部分‘一,一階顯式方程,十,一‘或,,‘“一階隱式方程某些
2、可降階的高階方程。本文就前兩部分內(nèi)容的教學(xué)談一點(diǎn)粗淺的看李法。抓住綱目以加強(qiáng)學(xué)生的記憶效果一階常微分方程解法較多,又,,,學(xué)生理解雖不困雄但記憶欠佳往往學(xué)過即忘因此幫助學(xué)生分清,,。條理抓住綱目加深記憶是很必要的,。上面提到的三部分內(nèi)容尤以第一部分最為重氮要這部分內(nèi)容介紹了幾種可積方程的基本類型,是求解一階常微分方程的基礎(chǔ)。但作為基礎(chǔ)的勺基礎(chǔ)不外乎兩種‘一變量分離方程,,一,。一微分方程嬰粵拴。少口人。,,其他都需借助于變量代換或積分因子化為這兩類夕方程來求解因此在教學(xué)中要抓住這兩條綱目使學(xué)生記住其他類型
3、的方程和這兩種方程的關(guān)系。。有些教材中繪制有幾類一階顯式可積方程之間。,。,。的關(guān)系圖參見〔〕可幫助學(xué)生記憶使用別泊的教材時(shí)應(yīng)把此圖介紹給學(xué)生曰,在一階隱式方程中通常講以下幾種類型筋程的解法能就或解,‘出的二,,,‘非完全型微分方程,‘二、,,,,、其中在一般的教材中大都令乍為參數(shù)然后兩邊對或?qū)η髮?dǎo)使其變?yōu)?、?,或的顯式方程再去求解本人認(rèn)為這祥做苗兩個(gè)缺點(diǎn)一是參數(shù)來得太突然講不清它為什,因,‘么是參數(shù)而學(xué)生不易接受往往在求出的表遨式后又把它當(dāng)作再積分二是需要記憶的東,。,,西太多易忘易混例如是兩邊對求導(dǎo)
4、把視為的函數(shù)是兩邊對求導(dǎo)把視為的函數(shù)、則是引入適當(dāng)?shù)膮?shù)式來求解。卷者在教學(xué)中則是統(tǒng)一使用引入?yún)?shù)式的方法來。,,。解上面幾類方程這樣做學(xué)生不僅易于接受而皿便于記憶,,,‘,對一般的一階隱式方程將其視為空間的曲面設(shè)它有參數(shù)表達(dá)式,,一,,『,,。其中為參數(shù)把它代入任一少條積分曲線都必須滿足的關(guān)系式‘一,中整理可得亞妊十亞一叮,一。刁百刁乙,,,,。二,上式是關(guān)于參數(shù)的一階顯式方程己若能求得它的通積分為則二,,“,,,一,,,,,。即為原方程的通積分的參數(shù)表達(dá)式因?yàn)閺睦碚撋险f可以由消去參數(shù)而得到的關(guān)系。,,
5、。式,。,,,對至這幾類方程都可視二為的特殊情形在中取為參數(shù)則參數(shù)式為一,,‘一,,,在中取為參數(shù)參數(shù)式為二,,一,‘,,,對于可以為一個(gè)參數(shù)另外再手找一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)使其參數(shù)式為‘呀甲勸,以為,,同樣在中一個(gè)參數(shù)另找乞一合適參數(shù)使其參數(shù)式為‘甲中一,,。參數(shù)式寫出后代入關(guān)系式神即可得到關(guān)于參數(shù)的一階顯式方程這樣使用統(tǒng)一的方法來,。,,,處理問題可加強(qiáng)學(xué)生的記憶效果當(dāng)然在具體求解中不一定把參數(shù)式全寫出來例如解方程,‘,,,,。時(shí)令一則一代入中即可得關(guān)于的一階顯式方程其它幾種同樣可如此辦理。重視變量代換在解微
6、分方程中的勺靈活運(yùn)用,,眾所周知許多類型的一階顯式匕方程都可經(jīng)變量代換化為易于求解的類型而一階隱式方程引入?yún)?shù)式解法實(shí)質(zhì)上也是一種自變鷹量和未知函數(shù)的變換。因此,變量代換在解微分方程中起著舉足。,,,,輕重的作用這就需要啟發(fā)學(xué)生隨七機(jī)應(yīng)變靈活掌握根據(jù)方程的特點(diǎn)引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖儞Q將方程化。,為能求解的類型例如對方程一一擴(kuò)十一一份十一,蘭絲蘭土魚右邊提出可得紅藝衛(wèi)于乏一,擴(kuò)十少一兩邊同乘以并湊微分得習(xí)普夕一,,,二作變換尹即可把方程化為大家所熟知的可積類型十一十一,由式即可引在此基礎(chǔ)上導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一類可積方程二三
7、衛(wèi)、幽燮全絲述墊’、久獷’又如,一,對于方程登右邊提出得竇”少奮幽一生「少一〕‘少,。,作變換可把其變?yōu)樽兞糠蛛x方程由此又可得出另一類可積方程一’竇知,,,,,類似的例子不勝枚舉貴在靈活只要引導(dǎo)學(xué)生勤思苦練善于總結(jié)自然會(huì)熟能生巧達(dá)到舉一反三之目的。開拓尋求積分因子途徑力圖簡化求解過程,,,,求解微分方程計(jì)算量較大如果方法不當(dāng)往往事倍功半因而必須引導(dǎo)學(xué)生盡量簡化求解過,。,,程加快解題速度一般地說使用積分因子法比較簡便因?yàn)楫?dāng)方程乘以適當(dāng)?shù)姆e分因子而變?yōu)槿?,。微分方程后往往靠分項(xiàng)組合湊微分的方法即可求得通解
8、從而省去了大量的計(jì)算工作但遺憾的,,,,。是對一般的微分方程積分因子較難尋求所以我們應(yīng)當(dāng)盡量開拓尋求積分因子的途徑,拌‘拌大家知道是方程的積分因子的充要條件是為一階偏微分方程、,,翻讓、平如淤工萬二一以不丁一、又下一下丁產(chǎn)〔幾尤只只‘。,’,,的解雖然在一般情況下求的通解比求解更困難但這里所需的僅是的任一特解因,。此它仍提供了求解某些特殊形式的積分因子的途徑這里給出有關(guān)積分因子的兩個(gè)定理‘拌一,”的積分因子的充要條件是定理方程
