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《學(xué)年論文一階常微分方程的初等解法.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、`題目：一階常微分方程的初等解法Word文檔`摘要一階常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)中占有重要的地位。主要從三個(gè)方面講述：一、微分方程的基本概念，二、一階常微分方程的初等解法（其中包括變量分離微分方程、伯努利微分方程、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱式微分方程），三、一階常微分方程初等解法的應(yīng)用舉例。一階常微分方程的求解因其方法靈活，技巧性強(qiáng)，歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，因此，針對不同的題型，應(yīng)采取不同的方法。關(guān)鍵詞：變量分離方程伯努利方程恰當(dāng)微分方程積分因子應(yīng)用舉例AbstractFirsto
2、rderordinarydifferentialequationisamathematicalanalysisorapartofbasicmath,occupiesanimportantpositioninthemathematics.Mainlyfromthreeaspects:first,thebasicconceptofdifferentialequation;Second,theelementarysolutionoffirstorderordinarydifferentialequations(includi
3、ngdifferentialequationofseparationofvariables,differentialequationofBernoulli,exactdifferentialequationandintegralfactor,first-orderhiddendecayequation);Third,theapplicationofelementaryfirst-orderordinarydifferentialequationsolution.Becausesolutionofthefirst-ord
4、erordinarydifferentialequationisflexibleandtechnique,ithasalwaysbeenabigdifficultyinstudentslearning.Therefore,accordingtodifferenttypes,differentmethodsshouldbetaken.Keywords:VariableseparableequationBernoulliequationAppropriatedifferentialequationIntegratingfa
5、ctorApplications引言數(shù)學(xué)分析中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分與積分。如函數(shù)未知，但已知變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，便組成代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程就可解出未知函數(shù)。一階常微分方程的初等解法是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示，他們在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，值得我們好好學(xué)習(xí)和Word文檔`1.微分的基本概念1.1常微分方程微分方程：一般地，表示未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）與自變量之間的關(guān)系的方程。常微分方程：自變量只有一個(gè)的微分方程。微分方程的階數(shù)：微分方程中出
6、現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。一般的階微分方程具有的形式這里是的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù)，是自變量。1.2線性和非線性方程如果微分方程對于未知函數(shù)以及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程。如是非線性微分方程。一般的階線性微分方程形式這里是的已知函數(shù)。Word文檔`1.3解和隱式解微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解。即若函數(shù)代入式中，Word文檔`使其成為恒等式，稱為方程的解。如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)為方程的解，稱是方程的隱式解。1.4通解和特解通解：含有個(gè)獨(dú)立的任意常
7、數(shù)的解稱為階方程的通解。特解：方程滿足初值條件的解。定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題，定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題。Word文檔`2.一階微分方程的初等解法微分方程的一個(gè)主要的問題就是“求解”，即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達(dá)出來。但一般的微分方程無法求解，只能是對某些類型通過相應(yīng)的方法求解。這里詳細(xì)介紹幾種方法。2.1變量分離微分方程形如（1）的方程，稱為變量分離方程，，分別是，的連續(xù)函數(shù)，這是一類最簡單的一階函數(shù)。如果，我們可將（1）改寫成，這樣，變量就“分
8、離”開來了。兩邊積分，得到（2）這里我們把積分常數(shù)明確寫出來，而把，分別理解為，的原函數(shù)。常數(shù)的取值必須保證（2）有意義。例1求解方程解將變量分離，得到兩邊積分，即得因而，通解為Word文檔`這里是任意正常數(shù)，或者解出，寫出顯函數(shù)形式的解2.1.1可化為變量分離方程的類型：一階線性微分方程，（1）其中，在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)，
