淺析微分方程解的存在唯一性 畢業(yè)論文

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1、學(xué)號：哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題目淺析微分方程解的存在唯一性學(xué)生指導(dǎo)教師年級專業(yè)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報告論文題目淺析微分方程解的存在唯一性學(xué)生姓名指導(dǎo)教師年級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011年11月課題來源：題目自擬課題研究的目的和意義：解的存在唯一性定理是微分方程求解、定性分析及數(shù)值計算的理論保證，本文總結(jié)了定理使用的條件并舉出解不唯一的反例，加深對定理的認(rèn)識和理解。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢：近代數(shù)學(xué)歷史中，數(shù)學(xué)研究的主體都集中于函數(shù)理論及其相關(guān)問題上，而微分方程，作為函數(shù)理論中不可或缺的組成部分，對它的研究

2、從未間斷過。以一階微分方程解的存在性為主要對象的研究，直接關(guān)系到高階微分方程等一系列與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的研究進程，甚至于關(guān)系到物理科學(xué)、計算機應(yīng)用科學(xué)、生物技術(shù)、建筑學(xué)及原子物理學(xué)等相關(guān)理論的研究，因而十分重要。近年來，國內(nèi)對于一階微分方程的研究主要集中在力學(xué)、水文和石油鉆探領(lǐng)域，隨著科學(xué)的日益發(fā)展和不斷進步，此類問題的研究將會陸續(xù)不斷深入。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：主要內(nèi)容和方法淺析微分方程解的存在唯一性微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和數(shù)值計算的基礎(chǔ)。本文運用實例對方程解的存在唯一性進行分析。1．微分方程初值問題

3、解的存在唯一性定理2．解的存在唯一性定理實例分析3.微分初值問題解的存在唯一性定理的其他應(yīng)用主要問題和解決辦法反例的應(yīng)用及求解，主要通過資料查閱和相關(guān)學(xué)者訪問解決。課題研究起止時間和進度安排：起止時間：2011年11月25日-2012年4月15日2011年11月25日-2011年12月31日收集論文資料，確定論文題目2012年1月1日-2012年2月28日整理論文資料，完成初稿2012年3月1日-2012年3月31日教師指導(dǎo)，修改稿2012年4月1日-2012年4月15日打印論文，定稿課題研究所需主要設(shè)備、儀器及藥品：計算機、打印機外出調(diào)研主要單位，

4、訪問學(xué)者姓名：指導(dǎo)教師審查意見：同意開題指導(dǎo)教師（簽字）　　　　年月教研室（研究室）評審意見：同意開題__分析與方程__教研室（研究室）主任（簽字）　　　　年月院（系）審查意見：同意開題___數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)___院（系）主任（簽字）　　　　年月學(xué)號：2008025204哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題目淺析微分方程解的存在唯一性學(xué)生指導(dǎo)教師年級專業(yè)系別數(shù)學(xué)系學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012年4月淺析微分方程解的存在唯一性摘要：微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和數(shù)值計算的基礎(chǔ)。本文運用實例對方程解的存在唯一性進行分析。關(guān)鍵詞：微分方程解的存在唯一性實

5、際問題中，我們遇到更多的是帶有初值的微分方程的求解，本文分析微分方程解的存在唯一性。一．微分方程初值問題解的存在唯一性定理定理：方程（1）的右端函數(shù)在閉矩形域上滿足條件：⑴連續(xù)，⑵關(guān)于滿足李普希茲條件，則初值問題存在唯一的定義在區(qū)間上的解，其中。注：在矩形區(qū)域R：（2）對滿足李普希茲條件：即存在常數(shù)，使對所有，1.初值問題（1）等價于方程（3）2.構(gòu)造得解函數(shù)序列{}任取一連續(xù)函數(shù)，代入（3）左端，得3.函數(shù)序列{}在上一致收斂到。這里為=即則需由則需由于從而{}在上的一收斂性等價于函數(shù)項級數(shù)在一收斂性。二．解的存在唯一性定理實例分析例1.討論方程的

6、解的存在與唯一性。解：方程右端函數(shù)在平面上連續(xù)，又處連續(xù)。方程在區(qū)域內(nèi)保證初值解存在且唯一，即過區(qū)域G內(nèi)任意一點有且僅有一條積分曲線，而對區(qū)域G的邊界上任意一點，由于則可知的鄰域中不滿足李普希茲條件。事實上，若存在即從而當(dāng)時，有。但在附近，此式子不可能成立。因此，對上任意一點，只能斷定至少有一條積分曲線通過。顯然，是方程的解。又易求得的通解為，其中c為任意常數(shù)。因此，對積分曲線上任意一點，還有另一條積分曲線與它在此點相切。即在上每一點處，解的唯一性均被破壞。例2.討論方程的解的唯一性。解：因右端函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)均在區(qū)域內(nèi)每一點只有一條積分曲線通過。而對

7、上任一點，在點的任一領(lǐng)域中連續(xù)，但因，則可知在中不滿足李普希茲條件。因此，只能斷定點至少有一條積分曲線。易知是方程的解。又可得方程的通解為。這些積分曲線中的任何一條不可能與相交，故對任一點，仍只有唯一的積分曲線通過。此例表明，當(dāng)李普希茲條件不滿足時，初值問題的解仍可能唯一。從而方程的右端函數(shù)在的任何領(lǐng)域上并不滿足李普希茲條件，這個例子說明李普希茲條件不是保證初值問題解唯一的必要條件。例3.考慮方程，設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足條件其中。試證方程存在唯一的解。證明：任取，記，，按此法利用方程的右端反復(fù)迭代，便可得到一個逐次近似數(shù)列，其中可以證明此數(shù)列收斂，且其極

8、限就是方程的解，即有又可證方程的解唯一。三．微分初值問題解的存在唯一性定理的其他應(yīng)用例4：討論初值問題的解存