方程根的討論教案

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1、不等式的應(yīng)用(1)——方程根的討論教案　　教學(xué)目標(biāo)　　1．能應(yīng)用不等式的有關(guān)知識，對一元二次方程的實根分布進行討論．　　2．借助二次函數(shù)的圖象進行實根分布的討論，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想．　　3．能將實根分布等價轉(zhuǎn)化為不等式(組)的求解問題，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．　　教學(xué)重點與難點　　重點：借助二次函數(shù)的圖象將一元二次方程實根分布的條件等價轉(zhuǎn)化為由方程或不等式組成的條件組．　　難點：尋求實根分布條件的等價轉(zhuǎn)化．　　教學(xué)過程設(shè)計　　(一)引入新課　　師：前階段我們研究了不等式的性質(zhì)，不等式的解法以及不等式的證明．現(xiàn)在我們一起研究不等式在方程根的討論問題上的應(yīng)用．　　(板書：

2、不等式的應(yīng)用——方程根的討論)　　師：請同學(xué)們思考此題的解法．　　(出示小黑板或投影幻燈片)　　練習(xí)：實數(shù)m取何值時，方程　　x2＋2mx＋2m2－3＝0①　　有：(1)兩個正根？(2)一個正根，一個負根？　　(教師巡視后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生中的不同解法，肯定正確方法，糾正偏差)　　　　　　　　　　　　生乙：(1)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：方程(1)有兩個正根的充要條件是：　　　　　　　　師：本題有多種不同的解法：生甲應(yīng)用求根公式；生乙應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)．不難看出，方程的實根分布問題的討論可以等價轉(zhuǎn)化為解不等式(組)，但是不等式(組)是否與原命題等價是解題正確與

3、否的關(guān)鍵．　　　　　　　　　　　　師：由于一元二次方程，一元二次不等式與二次函數(shù)三者有著密切的聯(lián)系，是否可以考慮應(yīng)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)？　　(二)討論　　生：一元二次方程的實根是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，討論一元二次方程實根的分布問題可轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的位置問題．　　師：不妨設(shè)y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3，這是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線(如圖5－6)，若方程①有兩個正根，即拋物線y=f(x)與x軸正半軸有兩個交點，或與x軸正半軸相切，其充要條件是什么？　　生：首先判別式Δ≥0，這樣可以保證拋物線與x軸有兩個交點，或與

4、x軸相切．　　師：滿足Δ≥0的條件，如圖5－7拋物線與x軸的兩個交點，一個在x軸正半軸上，而另一個在x軸負軸上．可這兩個交點應(yīng)都在x軸正半軸上．　　生：圖5－6與圖5－7比較發(fā)現(xiàn)，拋物線與y軸的交點應(yīng)在正半軸上，即在y軸上的截距大于0．　　師：如何計算拋物線在y軸上的截距？　　生：拋物線在y軸上的截距為f(0)，因此f(0)＞0．　　　　　　　　師：比較圖5－6與圖5－8，尋找其差別之處，還應(yīng)添加什么條件？　　生：兩圖象的主要不同之處在于對稱軸的位置不同，圖5－6所示拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，而圖5－8所示拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，因此在條件中應(yīng)添加對稱軸x=－m＞0的條

5、件．　　師：這樣我們就得到了拋物線y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3　　與x軸正半軸有兩個交點，或與x軸正半軸相切，即方程x2＋2mx＋2m2－3－0，有兩個正根的充要條件是：　　　　　　師：若方程①有一個正根，一個負根，拋物線與x軸的交點位置又如何？其所對等價條件應(yīng)考慮幾方面？　　生：若方程①有一個正根，一個負根，拋物線y=f(x)與x軸有兩個交點，分別位于原點的兩側(cè)．如圖5－9首先應(yīng)考慮判別式Δ＞0，還需考慮拋物線在y軸上的截距小于0，即f(0)＜0．　　師：當(dāng)f(0)＜0時，請同學(xué)們試一試拋物線y=f(x)與x軸是否一定有兩個交點？并且這兩個交點是否一定位于原點

6、的兩側(cè)？　　(要教給學(xué)生思考問題的方法，即原命題與其逆否命題是等價命題．因此，只須考慮拋物線y=f(x)與x軸沒有兩個交點(包括無交點和一個交點的兩種情況)時，f(0)≥0是否成立；這兩個交點位于原點的同側(cè)或有一點在原點上，f(0)≥0是否成立．這樣，學(xué)生就可以通過作圖，直觀得出結(jié)論，既省去了繁瑣的證明過程，又培養(yǎng)了數(shù)形結(jié)合的思想，可謂一舉兩得．學(xué)生不難得出以下5種圖形，(如圖5－10～5－14)，從而得出肯定的結(jié)論)　　(板書)師：因此，拋物線y=f(x)=x2＋2mx＋2m2－3．與x軸有兩個交點，且分別位于原點兩側(cè)，即方程x2＋2mx＋2m2－3=0，有一個正根，一

7、個負根的充要條件　　　　師(小結(jié))：關(guān)于一元二次方程的實根分布問題通常有三種不同的處理方法：(1)應(yīng)用求根公式法；(2)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)；(3)應(yīng)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．　　(三)鞏固　　(板書)例1m取何實數(shù)值時，關(guān)于x的方程x2＋(m－2)x＋5－m=0　　的兩個實根都大于2？　　(在學(xué)生充分思考的前提下，發(fā)現(xiàn)錯誤，在及時分析、糾正錯誤的同時，使學(xué)生分析解決問題的能力得以提高)　　師：同學(xué)中有這樣一種作法：　　解：設(shè)方程的兩根為x1，x2．　　　　　　比較此答案與應(yīng)用二次函數(shù)圖象所得答案－5＜m≤－4不符，究