考研專題輔導(dǎo)——關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)和根的唯一性的討論

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1、六、關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)和根的唯一性的討論解題思路：將方程變形為一邊為零，即的形式；1、討論要的存在性通常有二條途徑：（1）若存在，使，利用零點(diǎn)定理；（2）構(gòu)造函數(shù)，使，且存在，使，利用羅爾中值定理。（這一部分可結(jié)合本章四）2、討論根的個(gè)數(shù)通常由或不存在的點(diǎn)將區(qū)間分成若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，若區(qū)間左右兩端的函數(shù)值異號(hào)，則區(qū)間內(nèi)必有一根，從而找到根的個(gè)數(shù)；（有時(shí)需借且于草圖）；3、討論根的唯一性通常利用函數(shù)的單調(diào)性，若區(qū)間兩端函數(shù)異號(hào)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，則該區(qū)間內(nèi)有且僅有一根。題型二十、根的存在性的討論例100、設(shè)是上以2T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：在每一個(gè)長(zhǎng)度為T的閉區(qū)間上，方程至少

2、有一實(shí)根；證明：設(shè)是任意長(zhǎng)度為T的閉區(qū)間，令，則，（1）若，則均為方程在的實(shí)根；（2）若，則，于是由零點(diǎn)定理，必存在，使，得證。例101、設(shè)為滿足的實(shí)數(shù)，證明：方程在內(nèi)有根；證明：令，在區(qū)間的兩端點(diǎn)處的符號(hào)不易確定，改令，則在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，故在區(qū)間滿足羅爾中值定理的條件，由羅爾中值定理得證。例102、設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在，使；分析：令顯然無(wú)法判斷的符號(hào)，若令，由于不是一個(gè)全微分式，不容易求出，變形方程為或，故可令，則，利用羅爾中值定理。題型二十一、方程僅有一根的證明解題程序：（1）利用零點(diǎn)定理或羅爾定理證明方程至少有一根；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明方程最多有一

3、實(shí)根（或用反證法，由中值定理導(dǎo)出矛盾）。例103、設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一根；證明：在上，由，得，即，取，有，因，故存在，使，又由于，故在嚴(yán)格單調(diào)增加，所以在內(nèi)有且僅有一根。例104、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，證明：在（0，1）內(nèi)有唯一的實(shí)根；證明：先證存在性，令，則在上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理存在，使，即為方程在（0，1）內(nèi)的實(shí)根；再證唯一性：若存在為方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，即，則在上滿足羅爾中值定理的條件，則，使，又，即有矛盾。例105、設(shè)在區(qū)間上，且，又在的任意子區(qū)間，，證明方程在上至多有一個(gè)根；證明：（反證法）假設(shè)方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，顯然在上連續(xù)，，由閉

4、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在，使，將在點(diǎn)展開成一階泰勒公式，，介于之間，由于，，知對(duì)任意，；若對(duì)任意，與題設(shè)條件矛盾；若存在一點(diǎn)，使得，則與是在上的最大值點(diǎn)矛盾，故方程在上至多有一個(gè)根。例106、設(shè)當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解，求的取值范圍；解：設(shè)（1）當(dāng)，故在嚴(yán)格單調(diào)減少，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)原方程在有且僅有一個(gè)解；（2）當(dāng)時(shí)，令得唯一駐點(diǎn)，又由于知有極小值點(diǎn)且函數(shù)的圖象在內(nèi)是凹的，所以當(dāng)極小值即時(shí)原方程有且僅有一個(gè)解，由上式得，而當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解或有兩個(gè)解；綜上所述，當(dāng)或時(shí)原方程在有且僅有一個(gè)解。例107、設(shè)，求證（1）任給自然數(shù)，方程在之間有且僅有一個(gè)根；（2）設(shè)是方程的

5、根，則；證明：（1）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在，使，存在性得證；下證唯一性，由于，，即在上嚴(yán)格單調(diào)減少，因此在之間有且僅有一個(gè)根；（2）先證明序列單調(diào)遞增，由于，有及在上嚴(yán)格單調(diào)減少，即得，由有（1）知，因此知序列單調(diào)遞增且有界，故序列有極限，即存在，設(shè)，由于知，當(dāng)時(shí)，，知，知，在兩邊同乘得，令，有，解之得，故有。