利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題

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1、重點難點重點：利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的優(yōu)化問題難點：如何建立數(shù)學(xué)模型，借助導(dǎo)數(shù)求最值知識歸納利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，找出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值．誤區(qū)警示(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)

2、間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值．(3)生活中，經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．某工廠設(shè)計一個密閉容器，下部是圓柱體形，上部是半球形，容積為常數(shù)V，當(dāng)圓柱的底半徑r與高h(yuǎn)為何值時，制造這個容器的用料最省？[例2]某集團為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣

3、告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費控制在三百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2百萬元時，f(t)取得最大值4百萬元．即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．故g(x)在[0,2]上是增函數(shù)，在[2,3]上是減

4、函數(shù)．所以當(dāng)x＝2時，g(x)取最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．[例3]　如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD＝2x，梯形面積為S.(1)求面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值．已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，則矩形的面積最大時，矩形的邊長為________．

5、[例4]蘇南某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注．據(jù)有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：分析：如圖，設(shè)BC為海岸線，A為漁艇停泊處，設(shè)D為海岸線上一點，CD＝x，只需將時間T表示為x的函數(shù)，即可確定登岸的位置．[答案]C[答案]C(理)(2010·山東濟南市?？?直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b的值為()A．－3B．9C．－15D．－7[答案]C[解析]

6、將點(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y(tǒng)′

7、x＝2＝(3x2－3)

8、x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故選C.[答案]B二、填空題4．某工廠要圍建一個面積為128m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，堆料場的長、寬應(yīng)分別為________．[答案]16m8m5．(文)在周長為l的矩形中，面積的最大值為________．(理)面積為S的矩形中，其周長最小的矩形邊長是______．三、

9、解答題6．已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c＝25000＋200x＋x2(元)．(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？當(dāng)在x＝1000附近左側(cè)時，y′<0；在x＝1000附近右側(cè)時，y′>0；故當(dāng)x＝1000時，y取得極小值．由于函數(shù)只有一個極小值點，那么函數(shù)在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品．由于函數(shù)只有一個使L′＝0的點，且函數(shù)在該點有極大值，那么函數(shù)在該點取得最大值．因此，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件

10、產(chǎn)品．請同學(xué)們認(rèn)真完成課后強化作業(yè)[答案]B2．某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為________元．[答案]853．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是______．[答案]－13[分析]由f(x)在x＝2處取得極值，可知f′(2)＝0，于是可求得a的值，∵m∈[－1,1]，∴可利用f(x)在[－1,1]上的單調(diào)性求得f(m)的最小值；由