高中數(shù)學奧賽輔導

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1、數(shù)列與遞進知識、方法、技能數(shù)列是中學數(shù)學中一個重要的課題，也是數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題.所謂數(shù)列就是按一定次序排列的一列數(shù).數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…通常簡記為{an}.如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關系可用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.從函數(shù)的角度看，數(shù)列可以看做是一個函數(shù)，定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的一個有限子集，函數(shù)表達式就是數(shù)列的通項公式.對于數(shù)列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項和，則有I．等差數(shù)列與等比數(shù)列1．等差數(shù)列（1）定義：（2）通項公式：an=a1+(

2、n－1)d.（3）前n項和公式：（4）等差中項：（5）任意兩項：an=am+(n－m)d.（6）性質：①公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是通項公式為n的一次函數(shù)；②公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是前n項和公式為n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；③設{an}是等差數(shù)列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;④設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差數(shù)列；⑤設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則是等差數(shù)列；⑥設{an}是等差

3、數(shù)列，則{λan+b}(λ,b是常數(shù))是等差數(shù)列；⑦設{an}與{bn}是等差數(shù)列，則{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常數(shù)）也是等差數(shù)列；7⑧設{an}與{bn}是等差數(shù)列，且bn∈N*，則{abn}也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；⑨設{an}是等差數(shù)列，則{}（c>0,c≠1）是等比數(shù)列.2．等比數(shù)列（1）定義：（2）通項公式：an=a1qn－1.（3）前n項和公式：（4）等比中項：（5）任意兩項：an=amqn－m.（6）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：S=（7）性質：①設{an}是等比數(shù)列，如果m、n、p、q

4、∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；②設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…，Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設{an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設{an}與{bn}是等比數(shù)列，則{an·bn}也是等比數(shù)列；⑤設{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設{an}是正項等比數(shù)列，則{logcan}(c>0,c≠1)是等差數(shù)

5、列.賽題精講例1設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an－1(n=1,2,…)，數(shù)列{bn}滿足b1=3,bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項之和.（1996年全國數(shù)學聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項和，需先求bn.由ak=bk+1－bk,知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2,3,4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1,又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.7由

6、ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1,a2=b3－b2,a3=b4－b3,…,an－1=bn－bn－1,將上面n－1個等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an.即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評述】求數(shù)列的前n項和，一般情況必須先研究通項，才可確定求和的方法.例2求證：若三角形的三內角成等差數(shù)列，對應的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思

7、路分析】由△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60°，三個角可設為60°－d,60°,60°+d，其中d為常數(shù)；又由對應的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或將三邊記為a、aq、aq2，其中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設△ABC的三個內角為A、B、C及其對邊a、b、c，依題意b2=ac,∠B=60°.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC為正三角形.【方法2】設a、b、c三邊依次為a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1

8、=0,解得q=1,q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.【方法3】因為b2=ac,由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA·2R