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《高數(shù)論文-淺談定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、淺談定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別摘要本文主要從概念和性質(zhì)兩方面分別討論了不定積分、定積分之間的聯(lián)系與區(qū)別.它們“形式”相像，相互之間又存在內(nèi)在的聯(lián)系，但如果忽視他們本質(zhì)上的不同之處，將會(huì)導(dǎo)致很多錯(cuò)誤.為此，本文就他們之間在定義上和性質(zhì)上的聯(lián)系與區(qū)別展開討論，這將會(huì)有助于正確理解和掌握這類積分.關(guān)鍵字不定積分定積分性質(zhì)區(qū)別本文所涉及的包括不定積分、定積分的內(nèi)容.主要討論這兩類積分在概念和性質(zhì)兩方面的聯(lián)系與區(qū)別.能夠比較系統(tǒng)地分析和總結(jié)這兩類積分關(guān)系，便于解決實(shí)際問題.1概念1.1不定積分正如加法有其逆運(yùn)算減法，乘法有其逆運(yùn)算除法一
2、樣，微分法也有它的逆運(yùn)算——積分法.我們知道，微分法的基本問題是研究如何從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù)，那么與之相反的問題是：求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一已知函數(shù).定義1設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若,則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).定義2函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分，記作，其中稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為被積變量.由定義2可見，不定積分與原函數(shù)是總體與個(gè)體的關(guān)系，即若是的一個(gè)原函數(shù)，則的不定積分是一個(gè)原函數(shù)族，其中是任意常數(shù).為方便起見，通常寫作.這時(shí)又稱為積分常數(shù)，它可以任取一實(shí)數(shù)值.1.2定積分
3、定義1設(shè)閉區(qū)間上有個(gè)點(diǎn)，依次為，它們把分成個(gè)小區(qū)間,.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個(gè)分割，記為或.小區(qū)間的長度為，并記,稱為分割的模.注由于，因此可用來反映被分割的細(xì)密程度.另外,分割一旦給出，就隨之而確定；但是，具有同一細(xì)度的分割卻又無限多個(gè).定義2設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積；數(shù)稱為在區(qū)間上的定積分，記作.其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個(gè)定積分的上限和下限.2不定積分與定
4、積分的聯(lián)系與區(qū)別2.1定義上求定積分，即是在閉區(qū)間上對某個(gè)量進(jìn)行分割、累積的過程.英文短語definiteintegral恰好反映了這個(gè)計(jì)算過程的本質(zhì).而不定積分表示的是的全體原函數(shù)，既沒有分割，也沒有積累，為什么也稱為“積分”呢？下面將通過重新定義不定積分，證明把“不定積分”稱為“積分”也是合理的.設(shè)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),不妨設(shè).一方面，變上限定積分是在上的一個(gè)原函數(shù).另一方面，把連續(xù)延拓到，得到，使?jié)M足條件：，，.讓下限變動(dòng)到，得到變動(dòng)上限與變動(dòng)下限的定積分，.則.因?yàn)槭堑倪B續(xù)函數(shù)，且，,所以，對于任意常數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介
5、值性定理，存在，使得.以上的分析結(jié)果可以總結(jié)為：令變動(dòng)上限為自變量，變動(dòng)下限為參數(shù)，則形式定積分就是在上的不定積分.也就是說，不定積分是一種特殊形式的定積分，是上限與下限都不定的定積分.因此可以說明，把不定積分稱為積分是合理的.當(dāng)時(shí)，或當(dāng)在上不定號(hào)時(shí)，也可以類似討論，并得到同樣的結(jié)果.注：這里說形式定積分就是在上的不定積分，此時(shí)被積函數(shù)是，而不是原來的函數(shù).在很多教科書中，對不定積分的定義是強(qiáng)加的，并沒有說明為什么能夠?qū)⒎Q為“積分”，就更談不上不定了.這里揭示了這兩種積分的內(nèi)在聯(lián)系：定積分就是積分上、下限都確定的積分，不定積分就
6、是積分上、下限都不定的積分.因此，兩種積分在本質(zhì)上是相似的.雖然，不定積分與定積分本質(zhì)相似，不定積分是一種特殊形式的定積分，但是，在概念上，兩種積分是根本不同的.的不定積分就是它的全體原函數(shù)，而在區(qū)間上的定積分是一個(gè)極限值，即為是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)僅僅依賴于被積函數(shù)和積分區(qū)間，與積分變量的字母表示無關(guān).不定積分與定積分所分別表示的幾何意義也是不同的.的不定積分的幾何意義是以為其方程的一簇積分曲線.而在區(qū)間上的定積分的幾何意義是由曲線在直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積.2.2性質(zhì)上定理2.1若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，，則在
7、上可積，且.則稱為牛頓—萊布尼茨公式.定積分，原為求函數(shù)的極限，計(jì)算復(fù)雜.牛頓—萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系起來了，為求定積分提供了一個(gè)很有效的方法，實(shí)質(zhì)上是將定積分的求解歸結(jié)為求不定積分的原函數(shù).只要求出的一個(gè)原函數(shù)，那么定積分就等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量.牛頓—萊布尼茨公式體現(xiàn)了原函數(shù)與定積分的關(guān)系，但是原函數(shù)存在與函數(shù)可積并非充分條件，因此，運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式時(shí)必須注意條件.例函數(shù)存在原函數(shù)，但在上不可積，因?yàn)樵谏蠠o界.此外，對于定積分的計(jì)算，不定積分的換元積分法和分部積分法也適用.換元積分法定理2.
8、2設(shè)在上有定義，在上可導(dǎo)，且，，并記，.(i)若在上存在原函數(shù)，則在上也存在原函數(shù),，即.(ii)又若，，則上述命題（i）可逆，即當(dāng)在上存在原函數(shù)時(shí)，在上也存在原函數(shù)，且，即.定理2.2'若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，，，，則有定積分換元公式：.（1）所
