高等數(shù)學(xué)(函數(shù)與極限)

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1、目錄一、函數(shù)與極限21、集合的概念22、常量與變量32、函數(shù)43、函數(shù)的簡單性態(tài)44、反函數(shù)55、復(fù)合函數(shù)66、初等函數(shù)67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)78、數(shù)列的極限89、函數(shù)的極限910、函數(shù)極限的運算規(guī)則11一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素

2、，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。集合的表示方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A

3、為集合B的子集，記作AB（或BA）。。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：①、任何一個集合是它本身的子集。即AA②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集

4、包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即A∪B＝｛x

5、x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x

6、x∈A，且x∈B｝。⑶、補集：①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合

7、A的補集，記作CUA。即CUA＝｛x

8、x∈U，且xA｝。集合中元素的個數(shù)⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：1、學(xué)校里開運動會，設(shè)A＝｛x

9、x是參加一百米跑的同學(xué)｝，B＝｛x

10、x是參加二百米跑的同學(xué)｝，C＝｛x

11、x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，

12、并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C＝{(x,y)

13、y=x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)

14、方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合A={x

15、1≤x≤3}，B＝{x

16、(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，

17、…｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？2、常量與變量⑴、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開

18、區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x