常用的巧算和速算方法

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1、常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó)）小時(shí)候就做過(guò)的“百數(shù)求和”題，可以計(jì)算為所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=101×100÷2=5050。又如，計(jì)算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以計(jì)算為所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。這種算法的思路，見(jiàn)于書(shū)籍中最早的是我國(guó)古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺

2、，今三十日織訖。問(wèn)織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問(wèn)她一共織了多少布？張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。”“答曰：二匹一丈”。這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是1匹=4丈，1丈=10尺，90尺=9丈=2匹1丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測(cè)為：如果把這婦女從第一天直到第30天所織的布都加起來(lái)，算式就是5＋…………＋1在這一算式中，每一個(gè)往后加

3、的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè)相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過(guò)來(lái)，則算式便是1+………………＋5此時(shí)，每一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）但這婦女用30天織的布沒(méi)有180尺，而只有180尺布的一半。所以，這婦女30天織的布是180÷2=90（尺）可見(jiàn)，這

4、種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計(jì)算】一些看似很難計(jì)算的題目，采用“分組計(jì)算”的方法，往往可以使它很快地解答出來(lái)。例如求1到10億這10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10億個(gè)自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1到12這12個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。顯然，10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10億個(gè)自然

5、數(shù)的前面添上一個(gè)“0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們兩兩分組：0和999，999，999；1和999，999，998；2和999，999，997；3和999，999，996；4和999，999，995；5和999，999，994；………………依次類(lèi)推，可知除最后一個(gè)數(shù)，1，000，000，000以外，其他的自然數(shù)與添上的0共10億個(gè)數(shù)，共可以分為5億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=811+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81………………最后的一個(gè)

6、數(shù)1，000，000，000不成對(duì)，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計(jì)算結(jié)果是（81×500，000，000）＋1=40，500，000，000＋1=40，500，000，001【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（

7、圖4.1）所示。容易看到，對(duì)角線(xiàn)上五個(gè)“5”之和為25。這時(shí)，如果將對(duì)角線(xiàn)下面的部分（右下部分）用剪刀剪開(kāi)，如圖4.2那樣拼接，那么將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這五個(gè)斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“5×5”方陣的所有數(shù)之和為25×5=125，即53=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“100×100”的方陣所有數(shù)之和為1003=1，000，000。（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右的順序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002出現(xiàn)在哪一列：因?yàn)閺?到2002，共有偶數(shù)2002÷2=

8、1001（個(gè)）。從前到后，是每8個(gè)偶數(shù)為一組，每組都是前四個(gè)偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個(gè)偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由1001÷8=125…………1，可知這1001個(gè)偶數(shù)可以分為125組，還余1個(gè)。故2002應(yīng)排在第二列?！緶愓伤恪坑谩皽愓椒ā鼻伤悖３Ｄ苁褂?jì)算變得比較簡(jiǎn)便、快速。例如（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111（