常用的巧算和速算方法

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1、常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國）小時候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計算為1+2+……+99+100所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=101×100÷2=5050。“3+5+7+………＋97+99=？3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布

2、都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問她一共織了多少布？張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞薄＿@一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是1匹=4丈，1丈=10尺，90尺=9丈=2匹1丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測為：如果把這婦女從第一天直到第30天所織的布都加起來，算式就是5＋…………＋1在這一算式中，每一個往后加的加數(shù)，都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。若把這個式子反過來，則算式便是1+………………＋5此時，每

3、一個往后的加數(shù)，就都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個整數(shù)。假若把上面這兩個式子相加，并在相加時，利用“對應(yīng)的數(shù)相加和會相等”這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）但這婦女用30天織的布沒有180尺，而只有180尺布的一半。所以，這婦女30天織的布是180÷2=90（尺）可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計算】一些看似很難計算的題目，采用“分組計算”的方法，往往可以使它很快地解答出來。例如：求1到10億這10億個自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10億個自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不

4、是“10億個自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1到12這12個自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。顯然，10億個自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個一個地相加，那是極麻煩，也極費時間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10億個自然數(shù)的前面添上一個“0”，改變數(shù)字的個數(shù)，但不會改變計算的結(jié)果。然后，將它們分組：0和999，999，999；1和999，999，998；2和999，999，997；3和999，999，996；4和999，999，995；5和999，999，994；………………依次類推，可知除最后一

5、個數(shù)，1，000，000，000以外，其他的自然數(shù)與添上的0共10億個數(shù)，共可以分為5億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=811+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81………………最后的一個數(shù)1，000，000，000不成對，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計算結(jié)果是（81×500，000，000）＋1=40，500，000，000＋1=40，500，000，001【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例

6、如：（1）計算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（圖4.1）所示。容易看到，對角線上五個“5”之和為25。這時，如果將對角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開，如圖4.2那樣拼接，那么將會發(fā)現(xiàn)，這五個斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“5×5”方陣的所有數(shù)之和為25×5=125，即=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“100×100”的方陣所有數(shù)之和為=1，000，000。（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右的順序，其他叫第二、第三……第

7、五列。那么2002出現(xiàn)在哪一列：因為從2到2002，共有偶數(shù)2002÷2=1001（個）。從前到后，是每8個偶數(shù)為一組，每組都是前四個偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由1001÷8=125…………1，可知這1001個偶數(shù)可以分為125組，還余1個。故2002應(yīng)排在第二列?！緶愓伤恪坑谩皽愓椒ā鼻伤悖３Ｄ苁褂嬎阕兊帽容^簡便、快速。例如（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111（2）9＋97＋99