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《“猜想”的費馬猜想初等數(shù)學(xué)證明(簡稿)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、“猜想”的費馬猜想初等數(shù)學(xué)證明（簡稿）求證：當正整數(shù)n＞2時不定方程zn=xn+yn沒有正整數(shù)解。證明：因為不定方程zn=yn+xn有正整數(shù)解則(kz)n=(kx)n+(ky)n（k為正整數(shù)）也有正整數(shù)解，各倍數(shù)解組中必有一組為最小的正整數(shù)，所以假設(shè)(x，y)=1使zn=yn+xn………………………………………………………（1）正整數(shù)等式成立。依據(jù)約數(shù)分析法將（1）式變形為zn–xn=yn左邊進行因式分解：(z–x)(zn-1+xzn-2+…+xn-2z+xn-1)=yn……………………（2）由（2）式，因為z＞x等式左邊為兩個正整
2、數(shù)之積，所以等式右邊yn亦分解為兩個正約數(shù)之積，設(shè)正整數(shù)yn=CD得兩個“約數(shù)式”和“余約數(shù)式”：z–x=C…………………………………………………………（3）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+xn-1=D………………………………（4）判斷（3）式、（4）式確定成立的正整數(shù)等式是否成立便可證明費馬猜想。分析（3）式、（4）式，對于正整數(shù)z、x所決定yn的C、D兩個約數(shù)，存在互質(zhì)或不互質(zhì)兩種情形：即（C，D）=1或（C，D）＞1。當（C，D）=1時，根據(jù)引理確定正整數(shù)C=cn、D=dn，y=cd，由（3）式（4）式得：z–（x+cn
3、）=0……………………………………………………（5）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+（xn-1–dn）=0………………………（6）并同時用計算的方法：同理以xn為約數(shù)設(shè)xn=(st)n可得z–（y+sn）=0，x+cn=y+sn，x–y=sn–cn，“x–y”是確定的整數(shù)，由此計算得到cn、sn從而確定yn分解cn及dn是滿足（2）式約數(shù)分解使（5）式、（6）式為確定的正整數(shù)等式。當（C，D）＞1時，由（4）式：D=zn-1+xzn-2+x2zn-3+x3zn-4+x4zn-5+x5zn-6+…+xn-2z+xn-1=zn-2
4、（z–x）+2xzn-3（z–x）+3x2zn-4（z–x）+…+（n-1）xn-2（z–x）+nxn-1=(z–x)[zn-3（z–x）+3xzn-4（z–x）+6x2zn-5（z–x）+…]+nxn-14=(z–x)[(z–x)(zn-3+3xzn-4+6x2zn-5+…)+…]+nxn-1第一次分解z–x因式時系數(shù)成數(shù)列：1，2，3，…，（n–1），n；第二次分解z–x因式時系數(shù)成數(shù)列：1，3，6，…，至n–1項，這就需要求第二次分解z–x的第n–1項通解公式。細觀察發(fā)現(xiàn)第二次分解z–x的某項系數(shù)是第一次分解該項系數(shù)的數(shù)與前幾
5、項系數(shù)之和，所以n–1項系數(shù)通解公式為[(n–1)+1](n–1)=（n–1）n，于是得到（4）式“可約公因數(shù)式”：=(z–x)[zn-3+3xzn-4+6x2zn-5+…+（n–2)(n–1）xn-3]+(n–1)nxn-2+因為（x，y）=1，則（x，z）=1，（x，z–x）=1；由“可約公因數(shù)式”中項可知z–x即C與nxn-1含公約數(shù)只能是n的因數(shù)（n或n的某些因數(shù)）使相約。由CD=yn，C、D含n的兩個因數(shù)乘積必是一個n次方數(shù)；所以設(shè)D含n的因數(shù)為NiPi，C含n的因數(shù)為Nin-pi，令正整數(shù)（c，d）=1、D=dnNipi
6、、C=cnNin-pi，則y=cdNi，又使（3）式、（4）式得：z–（x+cnNin-pi）=0………………………………………………（7）zn-1+xzn-2+…+xn-2z+（xn-1–dnNiPi）=0………………………（8）用確定（5）式、（6）式正整數(shù)解的計算方法，使yn分解cnNin-pi及dnNiPi是滿足（2）式約數(shù)分解使（7）式、（8）式是確定的正整數(shù)等式。同理，如果以xn為分解對象亦是這樣相同的結(jié)果，因為在形式上yn、xn是可以等價互換的。如果yn與xn不等價互換即各自是定數(shù)分別為分解對象，則同樣得到相應(yīng)的（5）
7、式、（6）式或（7）式、（8）式為正整數(shù)等式結(jié)果。所以y=cd或y=cdNi兩個必要正整數(shù)的不同取值，使（5）式、（6）式和（7）式、（8）式是（2）式分解為有確定正整數(shù)解成立的等式，含括了全部有正整數(shù)解的情形，也是（1）式有正整數(shù)解的確定性條件。由（5）式z=x+cn及y=cd使（1）式為方根n次方式：zn=xn+(cd)n=(x+cn)n4這時x、c為正整數(shù)便確定了d的唯一正整數(shù)方根d=n則有z=(±)(x+cn)≡n（n：奇數(shù)+；偶數(shù)±）等式F（z：x，c）≡Q（z：x、c，d）的方根使（1）式成立，存在z=x+cn唯一正整數(shù)
8、方根。所以（5）式是（2）式的“方根約數(shù)式”，則（6）式為“方根余約數(shù)式”。同理，（7）式是（2）式分解約數(shù)另一解值的“方根約數(shù)式”，相應(yīng)（8）式是（2）式約去這一解值方根約數(shù)的“方根余約數(shù)式”。這就證明了關(guān)于“z”的正整數(shù)解（5）式
