§4.2 病人候診問題

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1、§4.2病人候診問題1）問題的提出某私人診所只有一位醫(yī)生，已知來看病的病人和該醫(yī)生的診病時(shí)間都是隨機(jī)的。若病人的到達(dá)服從泊松分布且每小時(shí)有4位病人到來，看病時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個(gè)病人需要12分鐘。試分析該診所的工作狀況。（即求該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的期望，病人看一次病平均所需的時(shí)間，醫(yī)生空閑的概率等等）2）模型的準(zhǔn)備本題是典型的排隊(duì)論問題，也是一個(gè)典型的單通道服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)。排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它涉及的排隊(duì)現(xiàn)象非常廣泛：如病人候診，顧客到商店購物，輪船入港，機(jī)器等待修理等等。排隊(duì)論的目的是研究排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，在顧客和服務(wù)機(jī)構(gòu)的規(guī)

2、模之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，以決定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理，權(quán)衡決策，使其達(dá)到合理的平衡狀態(tài)。在排隊(duì)論中，判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)通常有：（1）排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長，即指排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記為L。相應(yīng)的排隊(duì)系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為。顯然，L或大，說明服務(wù)效率越低。（2）等待時(shí)間，即指一顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中等待服務(wù)的時(shí)間，其期望值記為。相應(yīng)的，逗留時(shí)間是指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中停留的時(shí)間，即從進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)到服務(wù)完畢的整個(gè)時(shí)間。其期望值記為W。（3）忙期，指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑止這段時(shí)間長度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長度。另外還有，服務(wù)

3、設(shè)備利用率，顧客損失率等一些指標(biāo)。排隊(duì)論中的排隊(duì)系統(tǒng)有下列三部分組成：（1）輸入過程，即顧客來到服務(wù)臺(tái)的概率分布。在輸入過程中要弄清顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)。（2）排隊(duì)規(guī)則，即顧客排隊(duì)和等待的規(guī)則，排隊(duì)規(guī)則一般有即時(shí)制和等待制兩種。所謂即時(shí)制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用時(shí)顧客便隨即離去；等待制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用時(shí)顧客便排隊(duì)等待服務(wù)。等待制服務(wù)的次序規(guī)則有先到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等。（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)，其主要特征為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目，服務(wù)時(shí)間的分布。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是沒有服務(wù)員的，也可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)員；可以對(duì)單獨(dú)顧客進(jìn)行服務(wù)，也可以對(duì)成批顧客進(jìn)行服務(wù)。和輸入過程一樣，

4、多數(shù)的服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的，但通常假定服務(wù)時(shí)間的分布是平穩(wěn)的。要解決這里的病人候診問題，只要分析排隊(duì)論中最簡單的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)問題即可。所謂單服務(wù)臺(tái)是指服務(wù)機(jī)構(gòu)由一個(gè)服務(wù)員組成，對(duì)顧客進(jìn)行單獨(dú)的服務(wù)。下面通過對(duì)這類問題的分析和討論來解決病人候診問題。3）模型假設(shè)1．?顧客源無限，顧客單個(gè)到來且相互獨(dú)立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。2．排隊(duì)方式為單一隊(duì)列的等待制，先到先服務(wù)。隊(duì)長沒有限制。3．顧客流滿足參數(shù)為的泊松分布，其中是單位時(shí)間到達(dá)顧客的平均數(shù)。4．各顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，其中表示單位時(shí)間內(nèi)能服務(wù)完的顧客的平均數(shù)。5．顧客

5、到達(dá)的時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。4）模型的分析與建模為了確定系統(tǒng)的狀態(tài)，引入(t)表示在時(shí)刻t時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率。由假設(shè)知，當(dāng)充分小時(shí)，在[]時(shí)間間隔內(nèi)：有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為，有一個(gè)顧客離開的概率為，多于一個(gè)顧客達(dá)到或離開的概率為，可忽略。在[]時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)顧客的狀態(tài)可由下列四個(gè)互不相容的事件組成：（1）t時(shí)刻有n個(gè)顧客，在[]內(nèi)沒有顧客到來，也沒有顧客離開，其概率為；（2）t時(shí)刻有n個(gè)顧客，在[]內(nèi)有一個(gè)顧客到來，同時(shí)也有一個(gè)顧客離開，其概率為；（3）t時(shí)刻有n-1個(gè)顧客，在[]內(nèi)有一個(gè)顧客到來，沒有顧客離開，其概率為；（4）t時(shí)刻

6、有n+1個(gè)顧客，在[]內(nèi)沒有顧客到來，有一個(gè)顧客離開，其概率為。因此，在t+時(shí)刻，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客得概率為滿足：令得（）考慮特殊情形：當(dāng)n=0時(shí)，即在時(shí)刻時(shí)系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的狀態(tài)，同理，它由以下三個(gè)互不相容的事件組成：（1）t時(shí)刻系統(tǒng)中沒有顧客，在[]內(nèi)沒有顧客來，概率為；（2）t時(shí)刻系統(tǒng)中沒有顧客，在[]內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)，接受完服務(wù)后又離開，其概率為（3）t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)有一個(gè)顧客，在[]內(nèi)該顧客離開，沒有顧客來，其概率為因此就得到系統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)服從的模型：5)模型求解為評(píng)估系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量，判斷其運(yùn)行特征，需要根據(jù)上面的模型求解該系統(tǒng)的如下運(yùn)行指標(biāo)：系統(tǒng)中平均顧客

7、數(shù)L，系統(tǒng)中平均正在排隊(duì)的顧客數(shù)，顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間W，顧客平均排隊(duì)等待的時(shí)間，系統(tǒng)內(nèi)服務(wù)臺(tái)空閑的概率，即顧客來后無需等待的概率。所求得的模型，是有無限個(gè)方程組成的微分方程組，求解相當(dāng)麻煩。在實(shí)際的應(yīng)用中，我們只需要知道系統(tǒng)在運(yùn)行了很長時(shí)間后的穩(wěn)態(tài)解，即假設(shè)當(dāng)t充分大時(shí)，系統(tǒng)的概率分布已不隨時(shí)間變化，達(dá)到了統(tǒng)計(jì)平衡。在穩(wěn)態(tài)時(shí),與t無關(guān),,,從而得到一差分方程：(1)令，它表示平均每單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時(shí)間比例，它是刻畫服務(wù)效率和服務(wù)機(jī)構(gòu)利用程度的重要標(biāo)志，稱為服務(wù)強(qiáng)度。我們的問題求解將在<1的條件下進(jìn)行，否則系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)的長度將無窮增大，永遠(yuǎn)

8、不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由差分方程（1），得又由概率的性質(zhì)和<1，得從而