數(shù)學(xué)建模病人候診問題

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1、2013年浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽封面B（在相應(yīng)的題號(hào)上打鉤）姓名年級(jí)（注1）專業(yè)手機(jī)號(hào)（注1》：須注明本科生或研究生及年級(jí)浙江理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地二零一三年三月病人候診問題摘要木文針對(duì)病人候診問題，通過采用服從泊松分介的病人到達(dá)率和服從負(fù)指數(shù)分亦的看病時(shí)間，建立病人候診單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型，來分析診所的工作狀態(tài)。針對(duì)問題一，我們假設(shè)病人到達(dá)率服從泊松分布，癇人的看病時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，診所容量無限，引入排隊(duì)論原理和“生滅過程”狀態(tài)方程表達(dá)出病人排隊(duì)看病過程，編寫LINGO程序來運(yùn)算得到該診所內(nèi)排隊(duì)候診病

2、人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的吋間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)。同吋通過模型分析，給出了最優(yōu)服務(wù)率（即病人看病時(shí)間）的求解方程式。針對(duì)問題二，我們?cè)赪題一的基礎(chǔ)上將模型進(jìn)行推廣，在M題一的基礎(chǔ)上限制診所的容量，通過計(jì)算得出了診所A排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期帶，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)的表達(dá)式，將數(shù)裾代入得到最盾的結(jié)論。編寫LING?程序方便求解。得出最優(yōu)服務(wù)率的方程式。關(guān)鍵字：泊松分布，負(fù)指數(shù)分布，容量，排隊(duì)論，生滅過程，LINGO,最優(yōu)服務(wù)率。、問題的提出某私人診所只宥

3、一位醫(yī)生，已知來看病的病人和該醫(yī)生的診病時(shí)間都是隨機(jī)的，若病人的到達(dá)服從泊松分布且每小時(shí)有4位病人到來，看癇時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個(gè)病人需要12分鐘。試分析該診所的工作狀況，即求出該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的吋間、醫(yī)生空閑的概率等。二、模型的準(zhǔn)備本題是單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型，排隊(duì)是日常生活中常見的一種現(xiàn)象，其特點(diǎn)是：在一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)屮包含有一個(gè)或多個(gè)“服務(wù)設(shè)施”，有許多需要進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)的“被服務(wù)者”或“顧客”，當(dāng)被服務(wù)者進(jìn)入系統(tǒng)后不能立即得到服務(wù)，也就出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象。由于“被服務(wù)者”

4、到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)間不確定，是隨即的,所以排隊(duì)論又稱為“隨即服務(wù)系統(tǒng)理論”，因此，排隊(duì)論在實(shí)際屮有著廣泛的應(yīng)用。如：病人候診，顧客到商店購(gòu)物，輪船入港，機(jī)器等待修理。排隊(duì)論主要研究的內(nèi)容是性態(tài)問題，最優(yōu)化問題和排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷。排隊(duì)論中的排隊(duì)系統(tǒng)士下列三部分組成：(1)輸入過程，即顧客來到服務(wù)臺(tái)的概率分布。在輸入過程中耍弄清顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)。(2)排隊(duì)規(guī)則，即顧客排隊(duì)和等待的規(guī)則，排隊(duì)規(guī)則一般有即時(shí)制和等待制W種。所謂即吋制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用吋顧客便隨即離去；等待制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用吋顧客便排隊(duì)等待服務(wù)。等待

5、制服務(wù)的次序規(guī)則冇先到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，宥優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等。(3)服務(wù)機(jī)構(gòu)，其主耍特征為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目，服務(wù)時(shí)間的分布。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是沒有服務(wù)員的，也可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)員；可以對(duì)單獨(dú)顧客進(jìn)行服務(wù)，也可以對(duì)成批顧客進(jìn)行服務(wù)。和輸入過程一樣，多數(shù)的服務(wù)吋間都是隨機(jī)的，侶通常假定服務(wù)吋間的分布是平穩(wěn)的。排隊(duì)論主耍是研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是杏合理、研究設(shè)計(jì)改進(jìn)措施。因此，研究排隊(duì)問題，首先要確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本量化指標(biāo)，然后求出這些指標(biāo)的概率分布和數(shù)學(xué)特征。要

6、研究的系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)主要有：(1)隊(duì)長(zhǎng)指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，期望值記作(2)排隊(duì)長(zhǎng)(隊(duì)列長(zhǎng))指在系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記作1^，即Ls=Lq+Ln，其中￡，為正在接受服務(wù)的顧客數(shù)；(3)逗留時(shí)間指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，其期望值記作VKd(4)等待時(shí)間指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排對(duì)等待的時(shí)間，其期錯(cuò)值記作vr。，即Ws=W/+a，冗屮a為服務(wù)時(shí)間；(1)忙期服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長(zhǎng)度，記作7；;(1)損失率由丁系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服務(wù)而使服務(wù)部門受到損失的概率，用表示；(2)服務(wù)強(qiáng)度絕對(duì)通過能力A,表

7、示單位吋間內(nèi)被服務(wù)完顧客的均值，或稱為平均服務(wù)率；相對(duì)通過能力Q，表示中.位吋間內(nèi)被服務(wù)完的顧客數(shù)與請(qǐng)求服務(wù)的顧客數(shù)之比值。要解決這里的病人候診問題，只耍分析排隊(duì)論屮最簡(jiǎn)單的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)問題即可。所謂單服務(wù)臺(tái)是指服務(wù)機(jī)構(gòu)由一個(gè)服務(wù)員組成，對(duì)顧客進(jìn)行單獨(dú)的服務(wù)。下面通過對(duì)這類問題的分析和討論來解決病人候診問題。三、模型假設(shè)(1)顧客源無限，顧客單個(gè)到來且相互獨(dú)立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。(2)排隊(duì)方式為爭(zhēng)一隊(duì)列的等待制，先到先服務(wù)。隊(duì)長(zhǎng)沒有限制。(3)顧客流滿足參數(shù)為A的泊松分布，其中A是單位

8、時(shí)問到達(dá)顧客的平均數(shù)。(4)各顧客的服務(wù)吋間服從參數(shù)為p的負(fù)指數(shù)分布，.其中A表示單位吋間內(nèi)能服務(wù)完的顧客的平均數(shù)。(5)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。Ui模型的分析與建模確定系統(tǒng)在任意吋刻t的狀態(tài)為n的概率⑴。由假設(shè)知，當(dāng)&充分小吋，在［t，t+2V］時(shí)間間隔內(nèi)：有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為：沒宥一個(gè)顧客到達(dá)的概率為：！一；有一個(gè)顧客被服務(wù)完的概率為：pA^o(A