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《二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的求法討論(三稿)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的求法討論幸 克 堅 ?。ㄗ窳x師范學(xué)院 貴州 遵義?。担叮常埃埃玻┱∫悍菙?shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程》中，“二階常系數(shù)線性微分方程”一般是作為一個單獨的模塊來講授。但在非數(shù)學(xué)專業(yè)使用的不少《高等數(shù)學(xué)》教材中，特解的介紹常常比較突然和不夠完整，使學(xué)生不易于理解和接受。本文是針對上述問題，在對非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生就特解的求法所進行的分析和討論。關(guān)鍵詞：常系數(shù)線性微分方程特解討論中圖分類號：O171文獻標(biāo)識碼：E文章編號：1009-3583（2004）03-00 OnSpeci
2、alSolutionto二階常系數(shù)Linear非齊次DifferentialCoefficientEquationXinKejian(ZunyiNormalCollegeZunyiGuizhou563002)Abstract:In“DifferentialCoefficientEquation”fornon-mathematicsmajors,二階常系數(shù)lineardifferentialcoefficientequationisgenerallytaughtasanindividualmodule.However,inthetextbo
3、ok“AdvancedMathematics”,introductiontospecialsolutionsisoftensuddenandincomplete,whichisnoteasyforstudentstounderstand.Thisessayistoguidestudentstoanalyzespecialsolutionsontheabove-mentionedproblem.Keywords:常系數(shù)lineardifferentialcoefficientequationspecialsolutionsdebate一、問
4、題的提出“微分方程”中的“常系數(shù)線性微分方程”的求解理論，在數(shù)學(xué)專業(yè)的《常微分方程》教材中已得到較完美的解決，但由于專業(yè)所限，非數(shù)學(xué)專業(yè)《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容中《常微分方程》不可能系統(tǒng)介紹，往往只是將“二階常系數(shù)線性微分方程”作為一個單獨的模塊來講授。一般是先求出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，然后，找出非齊次方程：（1）的一個特解，最后按照“疊加原理”將這個特解與相應(yīng)的齊次方程的通解相加，就得到非齊次方程的通解。這兩個環(huán)節(jié)比較而言，難點在第二步——求非齊次方程的特解。雖然非數(shù)學(xué)專業(yè)的《高等數(shù)學(xué)》側(cè)重于應(yīng)用而不在于推導(dǎo)，但鑒于數(shù)學(xué)教育的目的不
5、單純是為了介紹數(shù)學(xué)知識點作為工具，而應(yīng)潛移默化的進行邏輯思維的訓(xùn)練。所以，知識點的介紹和引入也應(yīng)該遵循引入自然和易于理解接受的原則。而見諸于教材市場以及各種渠道的非數(shù)學(xué)專業(yè)使用的《高等數(shù)學(xué)》教材以及各種教案、教學(xué)輔導(dǎo)之類材料中，特解的引入常常比較突然并且不夠完整，知識點較為零散，讓學(xué)生無法理解和接受，難以形成清晰完整收稿日期：2004-11-6作者簡介：幸克堅（1954--），貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，從事數(shù)
6、學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)史研究的印象。如①一篇高等數(shù)學(xué)教案中一段為：二階常系數(shù)非齊次線形微分方程常見的兩種形式及其解為：“1、型如果，則二階常系數(shù)非齊次線形微分方程（1）具有形如（4）的特解，其中是與同次（次）的多項式，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線形微分方程，但要注意（4）式中的是特征方程含根的重復(fù)次數(shù)（即若不是特征方程的根，取為0，若是特征方程的重根，取為）2、型如果，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（1）的特解可設(shè)為，（5）其中、是次多項式，={,}，而按不是特征方程
7、的根、或是特征方程的單根依次取0或1。上述結(jié)論可推廣到階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但要注意（5）式中的是特征方程中含根的重復(fù)次數(shù)。”結(jié)論來得相當(dāng)突然，學(xué)生根本無法理解，只能機械的“接受”和死記硬背。又如筆者使用的這本教材②中也僅從一個十分具體的例子：例1、求方程(2)(3)(4)的特解來引出。很突然地用：“我們設(shè)想方程（2）具有一次式形式的特解：…；顯然，一次式不是方程（3）的解，設(shè)想它的特解為：…；顯然，不是方程（4）的解，設(shè)想它的特解為：”，最后又說：“情況是這樣的：方程（2）對應(yīng)的特征方程無零根；方程（3）對應(yīng)的特征方程以零為單根；
8、方程（4）對應(yīng)的特征方程以零為重根”。之后就依據(jù)這一具體例子，給“二階常系數(shù)線性微分方程”的整個求解問題作了結(jié)論，顯得比較玄乎和片面。這樣取材和講解，很容易產(chǎn)生下列疑問：①僅用一個系數(shù)這么簡單
