微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

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1、微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解李紹剛段復(fù)建徐安農(nóng)(桂林電子科技大學(xué),計算科學(xué)與數(shù)學(xué)系,廣西桂林,541004)摘要:本文主要介紹了二階微分算子的性質(zhì)及其它在一些求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的常見運算公式,并對其中的大部分重要公式給出了詳細(xì)的較為簡單的證明,并通過具體而翔實的例子加以說明它在解題中的具體應(yīng)用,大大簡化了二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的求法。關(guān)鍵詞:線性微分算子非齊次微分方程特解中圖分類號:O175.1引言對于微分方程,尤其是常系數(shù)非齊次線性微分方程,算子法求其特解

2、一直是研究的熱點問題,見參考文獻(xiàn)[3-9],有一些是針對一般高階的常系數(shù)非齊次線性微分方程[3-6],文獻(xiàn)[6]研究了高階的變系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解算法,而[7]是針對二階的常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解解法,但是理論不是很完善,而微分級數(shù)法以及復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程在一般教科書很少出現(xiàn),針對性不夠強。因為在高等數(shù)學(xué)中,二階非齊次常系數(shù)線性微分方程特解的求法在微分方程中占有很重要的地位,也是學(xué)習(xí)的重點和難點,大多高數(shù)教材采用待定系數(shù)法來求其特解,根據(jù)不同情況記憶特解的設(shè)法對大多數(shù)學(xué)生而言還是很有難度的,而且有些題目計算過程非常復(fù)

3、雜,本文就針對微分算子法在求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解方面的應(yīng)用做一些討論,給出理論的詳細(xì)證明,并通過例子說明理論的的一些具體應(yīng)用。我們考慮如下的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式其中為常數(shù)。(1)引入微分算子,則有:于是(1)式可化為:即:(2)令稱其為算子多項式。則(2)式即為:其特解為:,在這里我們稱為逆算子。一基本理論眾所周知:算子多項式有如下性質(zhì)[1](一)算子多項式的性質(zhì):1.(3)2.設(shè),(4)則作者簡介:李紹剛(1978-),男,河南漯河人,桂林電子工業(yè)學(xué)院計算科學(xué)與數(shù)學(xué)系碩士研究生,主要研究方向為最優(yōu)化理論與算法。聯(lián)

4、系電話:5601272(研究室)8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解3.設(shè),則(5)基于上述算子多項式的性質(zhì),我們可以得到下列算子多項式的運算公式。(二)算子多項式的運算公式:1.(6)證明:2.(7)證明:由歐拉公式:,則有:3.(8)證明:類似于性質(zhì)2的證明,我們有由歐拉公式:,則有:4.(9)證明:因為8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解所以5.(10)證明:不妨設(shè),則有:左邊右邊所以左邊=右邊,證畢。二逆算子在解題中的應(yīng)用:我們首先給出逆算子的性質(zhì):(一)逆算子的性質(zhì)類似于算子多項式的性質(zhì)我們有:1.F(D)f(x)=

5、f(x)(約定)(11)2.(12)3.設(shè),則(13)接下來我們討論逆算子的基本運算公式及其在解題中的具體應(yīng)用(二)逆算子的運算公式:1.逆算子移位原理:(14)證明:由(9)式易證。8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解這是逆算子很重要的一個性質(zhì),在許多題目的求解中都要用到,我們后面會討論它的應(yīng)用。2.(其中(15)若不妨設(shè)為的重根(,則有:,其中表示對求階導(dǎo)數(shù)。證明:由(6)式易證(其中下面考慮設(shè)為的重根(,則可令:其中,則易知有:(由逆算子移位原理:此時)(由逆算子公式14)例2解:因為:,而所以有:y=例3解:因為:1為的二重根,

6、此時,所以有:3.(1)當(dāng)時有:(2)當(dāng)時有:8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解(16)證明:(1)由(7)和(8)式易證。(2),不妨設(shè),則有:(a)而所以:(b)仿類似可證。例4解:因為:,所以由性質(zhì)3的公式(1)有:y=例5解:因為:,所以由性質(zhì)3的公式(2)有:8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解y=x通過上述兩道例題可以看出,對形如或者,均可以用性質(zhì)3進行求解。4.,其中是用1形式的除(按升冪排列)所得的多項式,其最高次數(shù)為。(17)證明:其中表示余式。兩端同乘得:這里中最低次冪為,對的運算為零。所以例6解:因為:

7、,利用性質(zhì)1和4,所以有:y=5.(18)證明:要證此式,只需證明:左邊8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解=右邊證畢。例7解:因為:,所以由性質(zhì)5有:y=6.;,其中(19)我們?nèi)钥紤]例7解:用算子移位原理來轉(zhuǎn)而求解的實數(shù)部分即為所求。因為:所以有:y=我們不妨再用待定系數(shù)法來求解這道題:另解:該方程對應(yīng)的齊次方程為:,特征方程為:由于不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為:將其代入所給方程,得:8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解比較兩端同類項的系數(shù),得由此解得:于是求得的一個特解為:通過本題可以看出:對形如或既可以用性質(zhì)1和5

8、兩種方法進行求解,也可以看出算子移位原理應(yīng)用的廣泛性,而傳統(tǒng)的待定系數(shù)法需要進行比較復(fù)雜的求導(dǎo)運算和解方程組,而算子法恰恰避免了這些缺點

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