微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

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1、微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解李紹剛段復(fù)建徐安農(nóng)（桂林電子科技大學(xué)，計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣西桂林，541004）摘要：本文主要介紹了二階微分算子的性質(zhì)及其它在一些求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的常見運(yùn)算公式，并對其中的大部分重要公式給出了詳細(xì)的較為簡單的證明，并通過具體而翔實(shí)的例子加以說明它在解題中的具體應(yīng)用，大大簡化了二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的求法。關(guān)鍵詞：線性微分算子非齊次微分方程特解中圖分類號：O175.1引言對于微分

2、方程，尤其是常系數(shù)非齊次線性微分方程，算子法求其特解一直是研究的熱點(diǎn)問題，見參考文獻(xiàn)[3-9]，有一些是針對一般高階的常系數(shù)非齊次線性微分方程[3-6]，文獻(xiàn)[6]研究了高階的變系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解算法，而[7]是針對二階的常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解解法，但是理論不是很完善，而微分級數(shù)法以及復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程在一般教科書很少出現(xiàn)，針對性不夠強(qiáng)。因?yàn)樵诟叩葦?shù)學(xué)中，二階非齊次常系數(shù)線性微分方程特解的求法在微分方程中占有很重要的地位，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多高數(shù)教材采用待

3、定系數(shù)法來求其特解，根據(jù)不同情況記憶特解的設(shè)法對大多數(shù)學(xué)生而言還是很有難度的，而且有些題目計(jì)算過程非常復(fù)雜，本文就針對微分算子法在求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解方面的應(yīng)用做一些討論，給出理論的詳細(xì)證明，并通過例子說明理論的的一些具體應(yīng)用。我們考慮如下的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式其中為常數(shù)。（1）引入微分算子，則有：于是（1）式可化為：即：（2）令稱其為算子多項(xiàng)式。則（2）式即為：其特解為：，在這里我們稱為逆算子。一基本理論眾所周知：算子多項(xiàng)式有如下性質(zhì)[1]（一）算子多項(xiàng)式的性

4、質(zhì)：1．（3）2．設(shè),（4）則作者簡介：李紹剛(1978-),男，河南漯河人，桂林電子工業(yè)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系碩士研究生，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法。聯(lián)系電話：5601272(研究室)8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解3．設(shè)，則（5）基于上述算子多項(xiàng)式的性質(zhì)，我們可以得到下列算子多項(xiàng)式的運(yùn)算公式。（二）算子多項(xiàng)式的運(yùn)算公式：1．（6）證明：2．（7）證明：由歐拉公式：，則有：3．（8）證明：類似于性質(zhì)2的證明，我們有由歐拉公式：，則有：4．（9）證明：因?yàn)?微分算子法求解常系數(shù)非

5、齊次線性微分方程的特解所以5．（10）證明：不妨設(shè)，則有：左邊右邊所以左邊=右邊，證畢。二逆算子在解題中的應(yīng)用：我們首先給出逆算子的性質(zhì)：（一）逆算子的性質(zhì)類似于算子多項(xiàng)式的性質(zhì)我們有：1.F(D)f(x)=f(x)（約定）（11）2.（12）3.設(shè),則（13）接下來我們討論逆算子的基本運(yùn)算公式及其在解題中的具體應(yīng)用（二）逆算子的運(yùn)算公式：1．逆算子移位原理：（14）證明：由（9）式易證。8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解這是逆算子很重要的一個(gè)性質(zhì)，在許多題目的求解中都要用到，我們后

6、面會(huì)討論它的應(yīng)用。2．（其中（15）若不妨設(shè)為的重根（，則有：，其中表示對求階導(dǎo)數(shù)。證明：由（6）式易證（其中下面考慮設(shè)為的重根（，則可令：其中，則易知有：（由逆算子移位原理：此時(shí)）（由逆算子公式14）例2解：因?yàn)椋?，而所以有：y=例3解：因?yàn)椋?為的二重根，此時(shí)，所以有：3．（1）當(dāng)時(shí)有：（2）當(dāng)時(shí)有：8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解（16）證明：（1）由（7）和（8）式易證。（2），不妨設(shè)，則有：（a）而所以：（b）仿類似可證。例4解：因?yàn)椋?，所以由性質(zhì)3的公式（1）有：y=例

7、5解：因?yàn)椋海杂尚再|(zhì)3的公式（2）有：8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解y=x通過上述兩道例題可以看出，對形如或者，均可以用性質(zhì)3進(jìn)行求解。4．，其中是用1形式的除（按升冪排列）所得的多項(xiàng)式，其最高次數(shù)為。（17）證明：其中表示余式。兩端同乘得：這里中最低次冪為，對的運(yùn)算為零。所以例6解：因?yàn)椋?，利用性質(zhì)1和4，所以有：y=5．（18）證明：要證此式，只需證明：左邊8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解=右邊證畢。例7解：因?yàn)椋?，所以由性質(zhì)5有：y=6．；，其中（19）我

8、們?nèi)钥紤]例7解：用算子移位原理來轉(zhuǎn)而求解的實(shí)數(shù)部分即為所求。因?yàn)椋核杂校簓=我們不妨再用待定系數(shù)法來求解這道題：另解：該方程對應(yīng)的齊次方程為：，特征方程為：由于不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為：將其代入所給方程，得：8微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得由此解得：于是求得的一個(gè)特解為：通過本題可以看出：對形如或既可以用性質(zhì)1和5兩種方法進(jìn)行求解，也可以看出算子移位原理應(yīng)用的廣泛性，而傳統(tǒng)的待定系數(shù)法需要進(jìn)行比較復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算和解方程組，而算子法恰恰避免了這些缺點(diǎn)