正態(tài)分布概率公式(部分)

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1、圖6-2正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線正態(tài)曲線可用方程式表示。當(dāng)n→∞時(shí)，可由二項(xiàng)分布概率函數(shù)方程推導(dǎo)出正態(tài)分布曲線的方程：f(x)=（6.16）式中：x—所研究的變數(shù)；f(x)—某一定值x出現(xiàn)的函數(shù)值，一般稱為概率密度函數(shù)（由于間斷性分布已轉(zhuǎn)變成連續(xù)性分布，因而我們只能計(jì)算變量落在某一區(qū)間的概率，不能計(jì)算變量取某一值，即某一點(diǎn)時(shí)的概率，所以用“概率密度”一詞以與概率相區(qū)分），相當(dāng)于曲線x值的縱軸高度；p—常數(shù)，等于3.14159……；e—常數(shù)，等于2.71828……；μ為總體參數(shù)，是所研究總體的平均數(shù)，不同的正態(tài)總體具有不同的μ

2、，但對(duì)某一定總體的μ是一個(gè)常數(shù)；δ也為總體參數(shù)，表示所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差，不同的正態(tài)總體具有不同的δ，但對(duì)某一定總體的?δ是一個(gè)常數(shù)。上述公式表示隨機(jī)變數(shù)x的分布叫作正態(tài)分布，記作N(μ,δ2)，讀作“具平均數(shù)為μ，方差為δ2的正態(tài)分布”。正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線叫正態(tài)曲線，形狀見(jiàn)圖6-2。（二）正態(tài)分布的特性1、正態(tài)分布曲線是以x=μ為對(duì)稱軸，向左右兩側(cè)作對(duì)稱分布。因的數(shù)值無(wú)論正負(fù)，只要其絕對(duì)值相等，代入公式（6.16）所得的f(x)是相等的，即在平均數(shù)μ的左方或右方，只要距離相等，其f(x)就相等，因此其分布是對(duì)稱的。在正

3、態(tài)分布下，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者合一位于μ點(diǎn)上。2、正態(tài)分布曲線有一個(gè)高峰。隨機(jī)變數(shù)x的取值范圍為（-∞，+∞），在（-∞，μ）正態(tài)曲線隨x的增大而上升，；當(dāng)x=?μ時(shí)，f(x)最大；在（?μ，+∞）曲線隨x的增大而下降。3、正態(tài)曲線在︱x-μ︱=1δ處有拐點(diǎn)。曲線向左右兩側(cè)伸展，當(dāng)x→±∞時(shí)，f(x)→0，但f(x)值恒不等于零，曲線是以x軸為漸進(jìn)線，所以曲線全距從-∞到+∞。4、正態(tài)曲線是由μ和?δ兩個(gè)參數(shù)來(lái)確定的，其中μ確定曲線在x軸上的位置[圖6-3]，?δ確定它的變異程度[圖6-4]。μ和?δ?不同時(shí)，就會(huì)有不

4、同的曲線位置和變異程度。所以，正態(tài)分布曲線不只是一條曲線，而是一系列曲線。任何一條特定的正態(tài)曲線只有在其μ和δ?確定以后才能確定。5、正態(tài)分布曲線是二項(xiàng)分布的極限曲線，二項(xiàng)分布的總概率等于1，正態(tài)分布與x軸之間的總概率（所研究總體的全部變量出現(xiàn)的概率總和）或總面積也應(yīng)該是等于1。而變量x出現(xiàn)在任兩個(gè)定值x1到x2(x1≠x2)之間的概率，等于這兩個(gè)定值之間的面積占總面積的成數(shù)或百分比。正態(tài)曲線的任何兩個(gè)定值間的概率或面積，完全由曲線的μ和δ?確定。常用的理論面積或概率如下：區(qū)間?μ±1δ???????面積或概率=0.6826　

5、　　μ±2δ?　　　　　　　　=0.9545　　　μ±3δ??　　　　　　　　=0.9973　　　μ?±1.960δ　　　　　　　　=0.9500　　　μ±2.576δ　　　　　　　　=0.9900??圖6-3標(biāo)準(zhǔn)差相同（δ=1）而平均數(shù)?圖6-4平均數(shù)相同（μ?=0）而標(biāo)準(zhǔn)差不同的三條正態(tài)曲線不同的三條正態(tài)曲線（三）正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布是連續(xù)性變數(shù)的理論分布，計(jì)算其概率的原理和方法不同于二項(xiàng)分布。它不能計(jì)算變量取某一定值，即某一點(diǎn)時(shí)的概率，而只能計(jì)算變量落在某一區(qū)間內(nèi)的概率（即概率密度）。對(duì)于任何正態(tài)分布隨機(jī)變量x落入

6、任意區(qū)間（a，b）的概率可以表示為：P(a

7、根據(jù)以上的方法，如果a、b(a

8、）其表示在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從-∞到u之間的面積或概率。對(duì)于一個(gè)u值，例如等于a，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u落入到區(qū)間（-∞，a）的概率可以通過(guò)上式求得。為了計(jì)算的方便，統(tǒng)計(jì)學(xué)家已根據(jù)a值的大小繪制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)數(shù)值表（附表2），通過(guò)查表就可以獲得（-∞，a）的概率。