以形助數(shù),以數(shù)解形——淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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1、論文編號：以形助數(shù)，以數(shù)解形——淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想無處不在，利用好它可以幫助解決較難問題，并提高解題速度.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行淺議，探討其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想.在近幾年武漢中考數(shù)學(xué)試卷中，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的題目屢見不鮮，而且有逐年加強(qiáng)的趨勢，可見其重要性.因此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際,探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.在《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法

2、、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如：數(shù)形結(jié)合思想等.”[1]所謂數(shù)形結(jié)合，就是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法.利用它可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，很多難題便迎刃而解，而且解法簡便易懂.數(shù)與形是密切相關(guān)的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象，它們是一一對應(yīng)的關(guān)系，且相互依存、相互促進(jìn).在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要把它們有機(jī)的結(jié)合起來，并相互轉(zhuǎn)化，即把幾何圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題,應(yīng)用代數(shù)、三角函數(shù)等知識進(jìn)行討論,或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形問題,借助幾何知識加以解決,

3、使學(xué)生看到“形”能想到“數(shù)”,而看到“數(shù)”則能想到“形”，最終達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的.著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說得好：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”[2].初一我們就學(xué)習(xí)了數(shù)軸，它建立起了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系.進(jìn)而，又引入了直角坐標(biāo)系，它擴(kuò)大成了有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對應(yīng).到了初二、初三又陸續(xù)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)，我們知道它們跟直線、拋物線也是一一對應(yīng)的關(guān)系，以至于后來的“用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程”，實(shí)質(zhì)上就是曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系.5.1-9

4、,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve正是這些數(shù)與形的對應(yīng)，才促使我們要利用它們之間的聯(lián)系，相互結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到解決數(shù)學(xué)問

5、題的目的.那么作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一的數(shù)形結(jié)合思想，又是怎樣體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用中呢？下面我結(jié)合以下幾個(gè)方面淺談一下.一.以形助數(shù)，化難為易一些問題中的代數(shù)式,比如方程或不等式，若以圖形的形式直觀地表示出來,問題的結(jié)果便可一目了然.(一）在不等式中的應(yīng)用例1.如圖1，直線y1=kx+b過點(diǎn)A（0，2），且與直線y2=mx交于點(diǎn)P（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是_________分析：這是一個(gè)解不等式的問題，如果直接去解不等式，是做不出的，因?yàn)閷F(xiàn)有的已知點(diǎn)都代入解析式中，無法求出參數(shù)k、b,以及m的.所以，這

6、個(gè)題必須借助圖像，利用圖像觀察交點(diǎn)以及交點(diǎn)兩側(cè)的圖像，來判斷當(dāng)x在什么范圍時(shí)，y1＞y2或者y2＞y1解：不等式mx＞kx+b即y2＞y1，通過觀察圖像，結(jié)合p點(diǎn)橫坐標(biāo)，在交點(diǎn)p的右側(cè)，即當(dāng)x＞1時(shí)，y2＞y1∴mx＞kx+b的解集是x＞1（二）在方程或方程組中的應(yīng)用例2.(1)求方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).(2)求方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).分析與解答：我們學(xué)習(xí)了“用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程”，知道一元二次方程的根的情況，可以看成是(拋物線)與y=0(x軸)的交點(diǎn)的情況，我們既可以通過計(jì)算方程的判別式來判斷，又可以通過函數(shù)圖像的交點(diǎn)很形象、直

7、觀的判斷.所以，（1）問中，我們可以把方程左邊看成拋物線,右邊看成直線y=-1，然后通過圖2觀察，會很快的發(fā)現(xiàn)，拋物線與直線沒有交點(diǎn)，故原方程就沒有實(shí)數(shù)根.5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thuspr

8、otectingtheregionalpositionandachieve(2)問中，如果直接去解方程，勢必會得到一個(gè)三次方程，解起來很困難.若利用數(shù)形結(jié)合的方法，就簡單直觀了.求方程根的問題，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)與y=的圖像的交點(diǎn)問題，通過觀察圖3，知道兩圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以原方程只有一個(gè)根.（三）函數(shù)與函數(shù)圖像中的應(yīng)