矩陣求逆方法大全

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1、廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月求逆矩陣的若干方法和舉例蘇紅杏廣西民院計(jì)信學(xué)院00數(shù)本（二）班[摘要]本文詳細(xì)給出了求逆矩陣的若干方法并給出相應(yīng)的例子，以供學(xué)習(xí)有關(guān)矩陣方面的讀者參考。[關(guān)鍵詞]逆矩陣初等矩陣伴隨矩陣對角矩陣矩陣分塊多項(xiàng)式等引言在我們學(xué)習(xí)《高等代數(shù)》時(shí)，求一個(gè)矩陣的逆矩陣是一個(gè)令人十分頭痛的問題。但是，在研究矩陣及在以后學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識時(shí)，求逆矩陣又是一個(gè)必不可缺少的知識點(diǎn)。為此，我介紹下面幾種求逆矩陣的方法，供大家參考。定義:階矩陣為可逆，如果存在階矩陣，使得，這里是階單位矩陣，此時(shí)，就稱為的逆矩陣，記為，即：方法一.初等變

2、換法（加邊法）我們知道，n階矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表示成一系列初等矩陣的乘積A=，從而推出可逆矩陣可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣。即，必有一系列初等矩陣使（1）則=（2）把A，E這兩個(gè)n階矩陣湊在一起，做成一個(gè)n*2n階矩陣（A，E），按矩陣的分塊乘法，（1）（2）可以合并寫成（A，E）=（，A，）=（E，）（3）這樣就可以求出矩陣A的逆矩陣。例1.設(shè)A=求。解：由（3）式初等行變換逐步得到：35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月于是=說明：此方法適用于求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，比較簡便，特別是當(dāng)階數(shù)較高時(shí)，使用初等變換法

3、的優(yōu)點(diǎn)更明顯。同樣使用初等列變換類似行變換，此略，注意在使用此方法求逆矩陣是，一般做初等行變換，避免做初等列變換。方法二.伴隨矩陣法定理：矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而=，（d=0）(4)我們用（4）式來求一個(gè)矩陣的逆矩陣。例2.求矩陣A的逆矩陣：已知A=解：d==9+6+24-18-12-4=20=2=-3=2=6=-6=2=-4=5=-2用伴隨矩陣法，得==說明：雖然這個(gè)公式對任何可逆矩陣都適用，但由于計(jì)算量大，一般只用于較低階的矩陣的求逆比如二階三階矩陣的逆，尤以對二階，此方法更方便。方法三.矩陣分塊求逆法在進(jìn)行高階矩陣運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常將高階矩陣

4、按某種規(guī)則分成若干塊，每一小塊是一小矩陣，這樣一方面對小矩陣進(jìn)行運(yùn)算，一方面每一小矩陣又可作為一個(gè)元素按運(yùn)算規(guī)則來進(jìn)行運(yùn)算，求出矩陣的逆矩陣。引出公式：設(shè)T的分塊矩陣為：T=,其中T為可逆矩陣，則=,（5）說明：關(guān)于這個(gè)公式的推倒從略。例3.求下列矩陣的逆矩陣，已知W=解：將矩陣W分成四塊，設(shè)35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月A=,B=,C=,D=,于是即==B=,=C=，利用公式（5），得=方法四.因式分解法若，即（E-A）可逆，且有=，（6）我們通過上式（6），求出例4.求下面矩陣的逆矩陣，已知：A=,解：因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)K0，使=0，把這

5、里的（E-A）替換（6）式中的“A”，得=通過計(jì)算得==0，即K=4所以==+35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月=方法五.多項(xiàng)式法我們知道，矩陣A可逆的充分必要條件是有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f(x)，滿足f(A)=0，用這個(gè)知識點(diǎn)也可以求出逆矩陣。例5.已知矩陣A=，且A滿足多項(xiàng)式f(x)=，即試證明A是可逆矩陣，并求其可逆矩陣。證：由，可得從而可知A為可逆矩陣，并且方法六.解方程組法在求一個(gè)矩陣的的逆矩陣時(shí)，可設(shè)出逆矩陣的待求元素，根據(jù)等式兩端對應(yīng)元素相等，可得出相應(yīng)的只含待求元素的諸多線性方程組，便可求解逆矩陣。例6.求A=的逆矩陣解：

6、求可逆矩陣A的逆矩陣X，則它滿足AX=E，設(shè)，則，，利用消元解法求（i=1,2,3）解得：35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月方法七.準(zhǔn)對角矩陣的求逆方法定義：形如是矩陣。A稱為準(zhǔn)對角矩陣。其求逆的方法：可以證明：如果都可逆，則準(zhǔn)對角矩陣也可逆，且例7.已知，求。解：設(shè)=4求得：35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月所以方法八.恒等變形法　　有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實(shí)質(zhì)上只有求出其逆矩陣之后，才能解決問題。而求其逆矩陣常對所給矩陣進(jìn)行恒等變形，且常變?yōu)閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的等式。例8.已知，求，其中，解：對已知矩陣

7、等式進(jìn)行恒等變形，得于是，，又因?yàn)锳是正交矩陣，，所以方法九.公式法利用下述諸公式，能夠迅速準(zhǔn)確地求出逆矩陣。１）二階矩陣求逆公式（兩調(diào)一除）：若　　Ａ＝，則２）初等矩陣求逆公式：３）對角線及其上方元素全為１的上三角矩陣的逆矩陣的逆矩陣為：35廣西民族學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院2003年12月４）正交矩陣的求逆公式：若A為正交矩陣，則5）其他常用的求逆公式：可逆，則例　9.已知：，，求。解：由于A是初等矩陣，由公式得：而B為元素都為1的上三角矩陣，由公式得：，再由公式得：到此為止，我已介紹了9種求逆矩陣的方法，除此外還有求正定矩陣的逆矩陣的三角陣法，由于其方法

8、不是很簡便，在此略。這些方法各有所長，讀者可根據(jù)實(shí)際