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1、廣西民族學院計算機與信息科學學院2003年12月求逆矩陣的若干方法和舉例蘇紅杏廣西民院計信學院00數(shù)本（二）班[摘要]本文詳細給出了求逆矩陣的若干方法并給出相應(yīng)的例子，以供學習有關(guān)矩陣方面的讀者參考。[關(guān)鍵詞]逆矩陣初等矩陣伴隨矩陣對角矩陣矩陣分塊多項式等引言在我們學習《高等代數(shù)》時，求一個矩陣的逆矩陣是一個令人十分頭痛的問題。但是，在研究矩陣及在以后學習有關(guān)數(shù)學知識時，求逆矩陣又是一個必不可缺少的知識點。為此，我介紹下面幾種求逆矩陣的方法，供大家參考。定義:階矩陣為可逆，如果存在階矩陣，使得，這里
2、是階單位矩陣，此時，就稱為的逆矩陣，記為，即：方法一.初等變換法（加邊法）我們知道，n階矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表示成一系列初等矩陣的乘積A=，從而推出可逆矩陣可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣。即，必有一系列初等矩陣使（1）則=（2）把A，E這兩個n階矩陣湊在一起，做成一個n*2n階矩陣（A，E），按矩陣的分塊乘法，（1）（2）可以合并寫成（A，E）=（，A，）=（E，）（3）這樣就可以求出矩陣A的逆矩陣。例1.設(shè)A=求。解：由（3）式初等行變換逐步得到：35廣西民族學院計算機與信息科學
3、學院2003年12月于是=說明：此方法適用于求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，比較簡便，特別是當階數(shù)較高時，使用初等變換法的優(yōu)點更明顯。同樣使用初等列變換類似行變換，此略，注意在使用此方法求逆矩陣是，一般做初等行變換，避免做初等列變換。方法二.伴隨矩陣法定理：矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而=，（d=0）(4)我們用（4）式來求一個矩陣的逆矩陣。例2.求矩陣A的逆矩陣：已知A=解：d==9+6+24-18-12-4=20=2=-3=2=6=-6=2=-4=5=-2用伴隨矩陣法，得==說明：雖然
4、這個公式對任何可逆矩陣都適用，但由于計算量大，一般只用于較低階的矩陣的求逆比如二階三階矩陣的逆，尤以對二階，此方法更方便。方法三.矩陣分塊求逆法在進行高階矩陣運算時，經(jīng)常將高階矩陣按某種規(guī)則分成若干塊，每一小塊是一小矩陣，這樣一方面對小矩陣進行運算，一方面每一小矩陣又可作為一個元素按運算規(guī)則來進行運算，求出矩陣的逆矩陣。引出公式：設(shè)T的分塊矩陣為：T=,其中T為可逆矩陣，則=,（5）說明：關(guān)于這個公式的推倒從略。例3.求下列矩陣的逆矩陣，已知W=解：將矩陣W分成四塊，設(shè)35廣西民族學院計算機與信息科
5、學學院2003年12月A=,B=,C=,D=,于是即==B=,=C=，利用公式（5），得=方法四.因式分解法若，即（E-A）可逆，且有=，（6）我們通過上式（6），求出例4.求下面矩陣的逆矩陣，已知：A=,解：因為存在一個K0，使=0，把這里的（E-A）替換（6）式中的“A”，得=通過計算得==0，即K=4所以==+35廣西民族學院計算機與信息科學學院2003年12月=方法五.多項式法我們知道，矩陣A可逆的充分必要條件是有一常數(shù)項不為零的多項式f(x)，滿足f(A)=0，用這個知識點也可以求出逆矩陣
6、。例5.已知矩陣A=，且A滿足多項式f(x)=，即試證明A是可逆矩陣，并求其可逆矩陣。證：由，可得從而可知A為可逆矩陣，并且方法六.解方程組法在求一個矩陣的的逆矩陣時，可設(shè)出逆矩陣的待求元素，根據(jù)等式兩端對應(yīng)元素相等，可得出相應(yīng)的只含待求元素的諸多線性方程組，便可求解逆矩陣。例6.求A=的逆矩陣解：求可逆矩陣A的逆矩陣X，則它滿足AX=E，設(shè)，則，，利用消元解法求（i=1,2,3）解得：35廣西民族學院計算機與信息科學學院2003年12月方法七.準對角矩陣的求逆方法定義：形如是矩陣。A稱為準對角矩陣
7、。其求逆的方法：可以證明：如果都可逆，則準對角矩陣也可逆，且例7.已知，求。解：設(shè)=4求得：35廣西民族學院計算機與信息科學學院2003年12月所以方法八.恒等變形法 有些計算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實質(zhì)上只有求出其逆矩陣之后，才能解決問題。而求其逆矩陣常對所給矩陣進行恒等變形，且常變?yōu)閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的等式。例8.已知，求，其中，解：對已知矩陣等式進行恒等變形，得于是，，又因為A是正交矩陣，，所以方法九.公式法利用下述諸公式，能夠迅速準確地求出逆矩陣。１）二階矩陣求逆公式（兩調(diào)一除）：
8、若 ?。粒剑瑒t２）初等矩陣求逆公式：３）對角線及其上方元素全為１的上三角矩陣的逆矩陣的逆矩陣為：35廣西民族學院計算機與信息科學學院2003年12月４）正交矩陣的求逆公式：若A為正交矩陣，則5）其他常用的求逆公式：可逆，則例 9.已知：，，求。解：由于A是初等矩陣，由公式得：而B為元素都為1的上三角矩陣，由公式得：，再由公式得：到此為止，我已介紹了9種求逆矩陣的方法，除此外還有求正定矩陣的逆矩陣的三角陣法，由于其方法不是很簡便，在此略。這些方法各有所長，讀者可根據(jù)實際
