有限元分析的基礎(chǔ)教程chapter6

《有限元分析的基礎(chǔ)教程chapter6》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、6.穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有限元法本章的內(nèi)容如下：6.1熱傳導(dǎo)方程與換熱邊界6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式6.3三角形單元的有限元列式6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導(dǎo)方程與換熱邊界在分析工程問題時，經(jīng)常要了解工件內(nèi)部的溫度分布情況，例如發(fā)動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分布等。物體內(nèi)部的溫度分布取決于物體內(nèi)部的熱量交換，以及物體與外部介質(zhì)之間的熱量交換，一般認(rèn)為是與時間相關(guān)的。物體內(nèi)部的熱交換采用以下的熱傳導(dǎo)方程（Fourier方程）來描述，（6-1）式中為密度，kg/m3；為比熱容，；為導(dǎo)熱系數(shù)，；T為溫度，℃；t為時間，s；為內(nèi)熱源密度，w

2、/m3。對于各向同性材料，不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)相同，熱傳導(dǎo)方程可寫為以下形式，（6-2）除了熱傳導(dǎo)方程，計算物體內(nèi)部的溫度分布，還需要指定初始條件和邊界條件。初始條件是指物體最初的溫度分布情況，（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環(huán)境的熱交換情況。在傳熱學(xué)中一般把邊界條件分為三類。1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。物體表面上的溫度或溫度函數(shù)為已知，或（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。已知物體表面上熱流密度，或（6-5）1）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。物體與其相接觸的流體介質(zhì)之間的對流換熱系數(shù)和介質(zhì)的溫度為已知。（6

3、-6）其中h為換熱系數(shù)，W/(m2K)；是物體表面的溫度；是介質(zhì)溫度。如果邊界上的換熱條件不隨時間變化，物體內(nèi)部的熱源也不隨時間變化，在經(jīng)過一定時間的熱交換后，物體內(nèi)各點溫度也將不隨時間變化，即這類問題稱為穩(wěn)態(tài)（Steadystate）熱傳導(dǎo)問題。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題并不是溫度場不隨時間的變化，而是指溫度分布穩(wěn)定后的狀態(tài)，我們不關(guān)心物體內(nèi)部的溫度場如何從初始狀態(tài)過渡到最后的穩(wěn)定溫度場。隨時間變化的瞬態(tài)（Transient）熱傳導(dǎo)方程就退化為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程，三維問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為，（6-7）對于各向同性的材料，可以得到以下的方程，稱為Poisson方程，（6-8）考慮物體不

4、包含內(nèi)熱源的情況，各向同性材料中的溫度場滿足Laplace方程，（6-9）在分析穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題時，不需要考慮物體的初始溫度分布對最后的穩(wěn)定溫度場的影響，因此不必考慮溫度場的初始條件，而只需考慮換熱邊界條件。計算穩(wěn)態(tài)溫度場實際上是求解偏微分方程的邊值問題。溫度場是標(biāo)量場，將物體離散成有限單元后，每個單元結(jié)點上只有一個溫度未知數(shù)，比彈性力學(xué)問題要簡單。進(jìn)行溫度場計算時有限單元的形函數(shù)與彈性力學(xué)問題計算時的完全一致，單元內(nèi)部的溫度分布用單元的形函數(shù)，由單元結(jié)點上的溫度來確定。由于實際工程問題中的換熱邊界條件比較復(fù)雜，在許多場合下也很難進(jìn)行測量，如何定義正確的換熱邊界條件是溫度

5、場計算的一個難點。6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式在前面我們已經(jīng)介紹了有限元方法可以用來分析場問題，穩(wěn)態(tài)溫度場計算是一個典型的場問題。我們可以采用虛功方程建立彈性力學(xué)問題分析的有限元格式，推導(dǎo)出的單元剛度矩陣有明確的力學(xué)含義。在這里，介紹如何用加權(quán)余量法（WeightedResidualMethod）建立穩(wěn)態(tài)溫度場分析的有限元列式。微分方程的邊值問題，可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足微分方程組，（在域內(nèi)）（6-10）未知函數(shù)u還滿足邊界條件，（在邊界上）（6-11）如果未知函數(shù)u是上述邊值問題的精確解，則在域中的任一點上u都滿足微分方程（6-10），在邊界的任一點上都

6、滿足邊界條件（6-11）。對于復(fù)雜的工程問題，這樣的精確解往往很難找到，需要設(shè)法尋找近似解。所選取的近似解是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般表示為（6-12）其中為待定系數(shù)，為已知函數(shù)，被稱為試探函數(shù)。試探函數(shù)要取自完全的函數(shù)序列，是線性獨立的。由于試探函數(shù)是完全的函數(shù)序列，任一函數(shù)都可以用這個序列來表示。采用這種形式的近似解不能精確地滿足微分方程和邊界條件，所產(chǎn)生的誤差就稱為余量。微分方程（6-10）的余量為，（6-13）邊界條件（6-11）的余量為，（6-14）選擇一族已知的函數(shù)，使余量的加權(quán)積分為零，強迫近似解所產(chǎn)生的余量在某種平均意義上等于零，（6-15）稱為權(quán)

7、函數(shù)，通過公式（6-15）可以選擇待定的參數(shù)。這種采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。對權(quán)函數(shù)的不同選擇就得到了不同的加權(quán)余量法，常用的方法包括配點法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法（Galerkinmethod）。在很多情況下，采用Galerkin法得到的方程組的系數(shù)矩陣是對稱的，在這里也采用Galerkin法建立穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式。在Galerkin法中，直接采用試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，取，。下面用求解二階常微分方程為例，說明Galerkin法（參見，王勖成編著“有限元法基本原理和數(shù)值方