chapter6有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理

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1、第六章有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理山東理工大學交通學院李紅艷6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)6.3邊界條件的處理與支反力計算6.4單元剛度矩陣的縮聚6.5為以函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求6.6C0型單元與C1型單元6.7單元的拼片試驗6.8有限元分析數(shù)值解的精度與性質(zhì)6.9單元應力的計算結(jié)果的誤差與平均處理6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲計算機進行有限元分析時，需要存儲所有單元和節(jié)點信息，隨著所求解問題自由度的增大，計算規(guī)模的增大，整體剛度矩陣的規(guī)模非常巨大。由于整體剛度矩陣中顯現(xiàn)出相鄰單元之間的關聯(lián)性，因

2、此矩陣中的大部分數(shù)據(jù)都為零，反映非零數(shù)據(jù)的一個指標就是帶寬。由于剛度矩陣是對稱的，可以看出，若節(jié)點的自由度數(shù)目為m，則每一個單元在整體剛度矩陣的半帶寬為di=（第i個單元中節(jié)點編號的最大差值+1）＊md=max（di）（i=1，2……n）其中n為整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單元數(shù)。顯然對于二維問題，m=2對于三維問題，m=36.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)以一維桿單元為例，桿單元的位移場為形函數(shù)矩陣1、左端發(fā)生單位位移，右端固定2、右端發(fā)生單位位移，左端固定3、發(fā)生剛體位移6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)仍然以一維桿單元為例，它的剛度方程為1、考慮單元左端發(fā)生單位位移，右端固定情況2

3、、考慮單元右端發(fā)生單位位移，左端固定情況3、考察剛體位移性質(zhì)1：單元剛度矩陣的對角元素kii表示要使單元的第i個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。性質(zhì)2：單元剛度矩陣的對角元素kij（i≠j）表示要使單元的第j個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。性質(zhì)3：單元剛度矩陣是對稱的。這可以由功的互等定理得到。對于線彈性體，力所做的功跟加載次序無關，這可以利用上面的性質(zhì)1和2得到。第一種加載狀態(tài)第二種加載狀態(tài)第一種加載狀態(tài)下的外力在第二種加載狀態(tài)下移動相應位移做的功為第二種加載狀態(tài)下的外力在第一種加載狀態(tài)下移動相應位移做

4、的功為根據(jù)功的互等定理，可以得到結(jié)論：剛度矩陣是對稱的。性質(zhì)4：單元剛度矩陣是半正定的。性質(zhì)5：單元剛度矩陣是奇異的。性質(zhì)6：單元剛度矩陣的任意行或列代表一個平衡力系，當節(jié)點位移全部為線位移時，任意行或列的代數(shù)和應該為0。同樣，由單元剛度矩陣所組裝的整體剛度矩陣也有以下性質(zhì)：1）對稱性2）奇異性3）半正定性4）稀疏性5）非零元素呈現(xiàn)帶狀分布6.3邊界條件的處理與支反力的計算位移邊界條件在大多數(shù)情況下有兩種類型。1、零位移邊界條件2、給定具體數(shù)值的位移邊界條件根據(jù)上述兩類邊界條件，剛度方程的求解有以下幾種方法：1、直接法2、置“1”法3、乘大數(shù)法4、罰函數(shù)法直接法1、既可以處

5、理零約束，又可以處理非零約束的情況。2、處理過程直觀。3、待求矩陣的規(guī)模變小（維數(shù)變?。?，適合于手工處理。4、矩陣的節(jié)點編號及排序改變，不利于計算機的規(guī)范化處理。置“1”法1、只能處理零約束情況。2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列，適合于計算機處理。3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機的規(guī)范化處理。直接法乘大數(shù)法1、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列。3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機的規(guī)范化處理。直接法罰函數(shù)法罰函數(shù)法的最大好處是可以直接求出位移邊界上的支反力。支反力的計算：除了罰函數(shù)法能夠求出支反力以外，其它的方

6、法都需要求解一定的方程得到。6.4單元剛度矩陣的縮聚采用高次位移函數(shù)的單元也常被稱為高階單元。對于高次單元來說，除了幾何端點以外，其余的那些節(jié)點可能與其它的單元不發(fā)生關系，當中間的節(jié)點與其它單元無關時，我們稱作是內(nèi)部節(jié)點。而其余的節(jié)點是外部節(jié)點。既然內(nèi)部節(jié)點與其他單元無關，那么在組成整體剛度之前，就可以把他們消去，也就是把內(nèi)部節(jié)點的位移用外部節(jié)點的位移來表示。以一維三節(jié)點桿單元為例以一維三節(jié)點桿單元為例其中a代表的是外部節(jié)點，b代表的是內(nèi)部節(jié)點。6.5位移函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求單元中的位移模式一般采用設有待定系數(shù)的有限多項式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項式的選取原則應該考慮以下幾個方

7、面：1、待定系數(shù)是由節(jié)點位移條件確定的，因此它的個數(shù)應該與節(jié)點位移DOF個數(shù)相等。2、在選取多項式時，必須選擇常數(shù)項和完備的一次項。單元位移模式中的常數(shù)項和一次項可以反映單元的剛體位移合唱應變的特性。這是因為當劃分的單元數(shù)趨于無窮時，即單元縮小趨于一點，此時單元應變趨于常數(shù)。3、選擇多項式應該由低到高，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。因此，在構(gòu)造一個單元的位移函數(shù)時，應該參考由多項式函數(shù)構(gòu)成的Pascal三角形和上述原則進行函數(shù)項次的選取與構(gòu)造。收斂性問題在有限元分析中，當節(jié)點數(shù)目或單元插值函數(shù)的項數(shù)趨于無窮大