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1、《計算方法》課程設(shè)計報告學生姓名:吳志強學號：0909290124學院:理學院班級:信計091班題目:拉格朗日插值及牛頓插值的通用程序指導教師：李鵬松職稱:教授朱秀麗講師2011年12月30日一、摘要1二、應(yīng)用計算方法的基本原理21.拉格朗日插值法21.1算法描述21.2插值余項與誤差估計22.牛頓插值法22.1算法描述2三、例題的計算結(jié)果及誤差分析3四、總結(jié)及心得體會4五、參考文獻7六、附錄程序7一、摘要本設(shè)計報告主要圍繞拉格朗日插值及牛頓插值多項式展開。首先分別給出了拉格朗日和牛頓插值的基本原理。拉格朗日插值是在給出線性插值基函數(shù)的基礎(chǔ)上得出插值公式：利用插
2、值基函數(shù)很容易求得拉格朗日插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，理論分析甚為方便，但是當差值節(jié)點增減時，全部差值基函數(shù)均要隨之改變，給實際計算帶來不便，而牛頓插值法很好的解決了這個問題。由基本原理給出程序的算法描述并由此編寫出通用程序。給出實例拉格朗日插值節(jié)點u=[01491625364964]，帶入程序得出結(jié)果：；牛頓插值節(jié)點x=[0.20.40.60.81.0]，y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]；代入程序得出結(jié)果：通過所得出的插值多項式，代入具體數(shù)值，分別求出兩種插值多項式的誤差估計。并估算出誤差分別為：則拉格朗日插值法絕對誤差為0.0092；牛
3、頓插值絕對誤差0.000052。通過誤差分析我們可以清楚的看到兩種插值多項式的誤差是可以接受的。最后我們對本次課程設(shè)計進行了總結(jié)，總結(jié)了程序的優(yōu)缺點并對本次試驗過程中遇到的問題及困難進行了解答，此外我們還寫出了對本次課程設(shè)計的心得體會。7二、應(yīng)用計算方法的基本原理1.拉格朗日插值法1.1算法描述拉格朗日插值多項式是一種最常見的多項式插值法，也是一種最常用的逼近工具。設(shè)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，又設(shè)，.....是[a,b]上的n個互不相同的點，可以先構(gòu)造基函數(shù)（i=0,1,2......n）如下：(1)且有(2)顯然(3）滿足（3）的插值多項式可表示為(4)
4、由的定義知，我們稱為拉格朗日插值多項式。同時引入記號，我們?nèi)菀浊蟮?，于是我們可將公式?）改寫為。1.2插值余項與誤差估計若在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)存在，節(jié)點，是滿足（3）的插值多項式，對任何，插余項，，余項表達式只有在f（x）高階導數(shù)存在時才能應(yīng)用，在（a,b）具體位置不能具體給出，如果我們能求出，那么插值多項式的截斷誤差限為2.牛頓插值法2.1算法描述利用插值基函數(shù)很容易求得拉格朗日插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，理論分析甚為方便，但是當差值節(jié)點增減時，全部差值基函數(shù)均要隨之改變，給實際計算帶來不便，而牛頓插值法很好的解決了這個問題。在這里我們先引入差商
5、的概念：設(shè)有函數(shù)，7為一系列互不相等的點，我們稱為k階差商這時我們可以求得其中為牛頓插值的余項。其中為牛頓均差插值多項式，為插值余項。三、例題的計算結(jié)果及誤差分析一．拉格朗日插值法1.下列數(shù)據(jù)點的插值x1.511283056101132y67.82.53.27.66.37.5試用拉格朗日插值法分別求出插值多項式結(jié)果：圖像如下：圖一例1拉格朗日插值多項式的圖像誤差分析：由所求得的插值多項式例：將x=1.5代入，求得L（4）=6.199968精確解y（4）=6.2。則絕對誤差為0.000012，相對誤差為0.00016。一．牛頓插值法1.已知函數(shù)在下列各點的值為7x
6、1.02345y0.980.920.810.640.38結(jié)果為:圖像：圖二例2牛頓插值多項式圖像誤差為：0.00025四、總結(jié)及心得體會總結(jié)：這次試驗使我進一步認識到算法的重要性，為進一步掌握編程能力提供了一次很好的鍛煉機會。在學習其他語言的基礎(chǔ)上，進一步加強編程能力。（1）進一步熟悉了matlab編譯環(huán)境。（2）完成一個程序的要經(jīng)過設(shè)計，輸入，編譯，運行。如果出錯，找出錯誤進行修改，然后再編譯，編譯成功后，再次看運行結(jié)果是否正確，如果結(jié)果不正確，則再重復以上步驟。（3）編寫完程序后要有必要的注釋，并且給出流程圖，一個好的程序不但自己能夠看懂應(yīng)用，應(yīng)該讓其他人也
7、能夠看懂（4）算法分析一定要明確，算法是程序的靈魂。（5）一定要邊調(diào)試邊運行，在其中發(fā)現(xiàn)問題，從而解決相應(yīng)的問題。（6）團結(jié)協(xié)作。（7）分塊運行，一定要有層次與邏輯。（8）理論與實踐結(jié)合的重要性。（9）不會的東西一定要請教老師和同學。心得體會：7程設(shè)計結(jié)束了，在這次的課程設(shè)計中不僅檢驗了我所學習的知識，也培養(yǎng)了我如何去把握一件事情，如何去做一件事情，又如何完成一件事情。在設(shè)計過程中，與同學分工設(shè)計，和同學們相互探討，相互學習，相互監(jiān)督。學會了合作，學會了運籌帷幄，學會了寬容，學會了理解，也學會了做人與處世。課程設(shè)計是我們專業(yè)課程知識綜合應(yīng)用的實踐訓練，著是我們邁
8、向社會，從事職業(yè)工作前一
