一階導數(shù)在函數(shù)中的應用

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1、內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文一階導數(shù)在函數(shù)中的應用王寶玉（數(shù)學學院數(shù)學與應用數(shù)學2006級蒙班）指導教師李春龍摘要：利用導數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值，導數(shù)是分析和解決問題的有效工具.關(guān)鍵詞：導數(shù)；函數(shù)的切線；單調(diào)性；極值和最值導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想，新課程中導數(shù)內(nèi)容不斷深入，導數(shù)知識考查的要求逐漸加強.是研究導數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及較多的知識點和數(shù)學思想方法.本文對導數(shù)在函數(shù)中的應用作個初步探究.有關(guān)導數(shù)在函數(shù)中的應用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等

2、式，利用導數(shù)解決應用問題.一用導數(shù)的幾何意義處理曲線的切線函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率.即就是說，曲線在點處的切線的斜率是，相應的切線方程為.例1求函數(shù)在點處的導數(shù)，并求曲線在點（1，1，）處的切線方程.分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解解：即所求切線的斜率為2，故所求切線的方程為即.二用導數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性問題利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是（1）確定的定義域；（2）求導數(shù)，（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和；（4）確定的單調(diào)區(qū)間，若函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論.例1、確定函數(shù)-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)解：第一步

3、確定函數(shù)定義域，函數(shù)的定義域是第二步求函數(shù)的導數(shù)第三步令及，確定的單調(diào)區(qū)間.令，即解得時，是增函數(shù)再令，即，解得或時，是減函數(shù)時，也是減函數(shù).例2研究函數(shù)的單調(diào)性解：(1)當時，由，得+--+從上表中的符號隨取值的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)，此時的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是和(2)當時，，此時的定義域為因此在內(nèi)單調(diào)遞增.（3）當時，，定義域為,此時的單調(diào)增區(qū)間是-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文和,沒有單調(diào)減區(qū)間.三用導數(shù)處理函數(shù)的極值問題求可導函數(shù)極值的步驟是（1）確定函數(shù)定義域，求導函數(shù)；（2）求的所有實數(shù)根；（3）對每個實極數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根的左右側(cè)，導函數(shù)的符號如何變化，如果的符號由

4、正變負，則的值是極大值；如果的符號由負變正，則是極小值.注意：如果的根的左右側(cè)符號不變，則不是極值.例3求函數(shù)的極值解：由，解得或當變化時，的變化情況如下：極大值極小值+0-0+-2(-2,2)2時，有極大值，當時，有極小值.四用導數(shù)處理函數(shù)的最值問題求在內(nèi)的最大值和最小值的步驟（1）求在內(nèi)的極值（2）將的各極值與比較即可.例4函數(shù)在[-2，2]的最大值和最小值-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文解：，解得當變化時，的變化情況如下：1345413-0+0-0+-2（-2，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，2）2由上表可知，最大值為13，最小值為4.五用導數(shù)處理不等式問題例5已知函數(shù)

5、，證明解：令得x=0當時，，當時，在區(qū)間（-1，0）上時增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)當時，，即，故令,令，得x=0當時，，當時，在區(qū)間（-1，0）上時減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)當時，即，故綜上知：.六用導數(shù)解決方程參數(shù)問題例6若函數(shù)滿足條件-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文，且在上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍.解：，又在上單調(diào)遞增即又故實數(shù)b的取值范圍是.七用導數(shù)處理與方程根有關(guān)的問題例7已知平面向量（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使，且，試求函數(shù)關(guān)系式(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程的解的情況.解：（1）由得x.y=0,又a.b=0，則即-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文而不同時為0

6、，則(2)關(guān)于t的方程的解的情況等價于與的交點個數(shù)的情況令，則t=1或-1-1(-1,1)極小值+000+1/2(-2,2)-1/2又為奇函數(shù)，且時，舍去）至此，可以畫出的圖像大致如圖的解的情況是（1）或時，與的圖象只有一個交點，即方程只有一個解（2）或時，與的圖象有二個交點，即方程有二個解（3）k=0時，與y=0的圖象有二個交點，即方程有二個解（4）或時，與的圖象有三個交點，即方程有三個解.-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文八用導數(shù)處理相關(guān)的應用性問題例8某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元

7、與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：（1）y與（a-x）和的乘積成正比；（2）當時，，并且技術(shù)改造投入比率：其中t為常數(shù)，且（1）求的解析式及定義域；（2）求出產(chǎn)品的增加值y的最大值及相應的x值.解：（1）由已知，設(shè)當時，，即則解得函數(shù)的定義域為(2)令則（舍去），當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，，此時是單調(diào)遞減的當時，即時，綜上所述，當時，投入萬元，最大增加值是當時，投入萬元，最大增加值是-9-內(nèi)蒙古民族大學畢業(yè)生論文總之，導數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學問題時使