高等數(shù)學(xué) 期末復(fù)習(xí)之常微分方程部分

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1、１９第11章常微分方程習(xí)題課一.內(nèi)容提要1.基本概念含有一元未知函數(shù)(即待求函數(shù))的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,稱為常微分方程;其中出現(xiàn)的的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為此微分方程的階;使微分方程在區(qū)間上成為恒等式的函數(shù)稱為此微分方程在上的解;顯然一個(gè)微分方程若有解,則必有無(wú)窮多解;若階微分方程的解中含有個(gè)不可合并的任意常數(shù),則稱其為此微分方程的通解;利用個(gè)獨(dú)立的附加條件(稱為定解條件)定出了所有任意常數(shù)的解稱為特解;微分方程連同定解條件一起,合稱為一個(gè)定解問題;當(dāng)定解條件是初始條件(給出在同一點(diǎn)處的值)時(shí),稱為初值問題.2.一階微分方程的解法(1)對(duì)于可分離變量方程,先分離變量(當(dāng)時(shí))得,再兩邊積分

2、即得通解.(2)對(duì)于齊次方程,作變量代換,即,可將其化為可分離變量的方程,分離變量后,積分得,再以代替便得到齊次方程的通解.１９１９(3)形如的方程,①若均為零,則是齊次方程;②若不全為零,則不是齊次方程,但當(dāng)時(shí),只要作變換,即可化為可分離變量的方程;當(dāng)時(shí),只要作平移變換,即(其中是線性方程組的惟一解),便可化為齊次方程.(4)全微分方程若方程之左端是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,則稱其為全微分方程,顯然即為通解,而原函數(shù)可用曲線積分法、不定積分法或觀察法求得.通常用充要條件來判定是否為全微分方程.對(duì)于某些不是全微分方程的,可乘上一個(gè)函數(shù)使之成為全微分方程(注意到當(dāng)時(shí)與原方程同解),１９１

3、９并稱為積分因子;一般說來,求積分因子比較困難,但有時(shí)可通過觀察得到.(5)一階線性微分方程的通解公式當(dāng)不恒為零時(shí),稱其為一階線性非齊次微分方程;當(dāng)恒為零,時(shí),即稱為一階線性齊次微分方程,這是一個(gè)可分離變量的方程,易知其通解為;由此用“常數(shù)變易法”即可得到非齊次微分方程的通解.(6)對(duì)于Bernoulli方程(),只需作變換,即可化為一階線性方程.3.高階方程的降階解法以下三種方程可通過變量代換降成一階方程再求解:(1)對(duì)于方程,令化為;在實(shí)際求解中,只要對(duì)方程連續(xù)積分次,即得其通解.(2)對(duì)于(不顯含),作變換,則,于是化一階方程;顯然對(duì)可作類似處理.(3)對(duì)于(不顯含),作變換

4、,則,于是可化為一階方程.4.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)線性齊次微分方程解的性質(zhì)１９１９對(duì)于線性齊次微分方程來說,解的線性組合仍然是解.(2)線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)若是階線性齊次微分方程的線性無(wú)關(guān)的解,則其通解為.(3)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次微分方程的通解,等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和,即.(4)線性非齊次微分方程的疊加原理1設(shè)()是方程的解,則是方程的解.2若實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)是方程的解,則此解的實(shí)部是方程的解;虛部是方程的解.(5)線性非齊次方程的解與對(duì)應(yīng)的齊次方程解的關(guān)系１９１９線性非齊次方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解.5.常系數(shù)線性

5、微分方程的解法(1)求常系數(shù)線性齊次微分方程通解的“特征根法”1寫出的特征方程，并求特征根；2根據(jù)特征根是實(shí)根還是復(fù)根以及重?cái)?shù)寫出通解中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)(見下表)特征根為給出通解中的單實(shí)根1項(xiàng):重實(shí)根項(xiàng):一對(duì)單復(fù)根2項(xiàng):一對(duì)重復(fù)根2項(xiàng):(2)下列兩種情況可用“待定系數(shù)法”求常系數(shù)線性非齊次方程的特解對(duì)于,應(yīng)設(shè)特解,其中等于為特征根的重?cái)?shù)(),是待定系數(shù).將代入原方程,可定出,從而求得.對(duì)于(),應(yīng)設(shè)特解,１９１９其中等于為特征根的重?cái)?shù)(),是待定的次多項(xiàng)式.將代原方程,即可定出,從而求得.或因?yàn)椋ㄆ渲惺谴蔚膹?fù)系數(shù)多項(xiàng)式）.對(duì)于方程可設(shè)其特解，（是次待定復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，等于為特征根的重?cái)?shù)），將

6、代入方程中，可定出，于是，從而原方程的特解.特例求得6.Euler方程的解法１９１９(1)形如的線性變系數(shù)微分方程稱為Euler方程,是一種可化為常系數(shù)的變系數(shù)微分方程.(2)解法只需作變換,即,即可將其化為常系數(shù)線性微分方程.若引入微分算子,則,,,于是很容易寫出對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程.7.應(yīng)用常微分方程解決實(shí)際問題的一般步驟(1)在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下,設(shè)出未知函數(shù),據(jù)已知條件寫出相關(guān)的量;(2)根據(jù)幾何、物理、經(jīng)濟(jì)及其它學(xué)科的規(guī)律（往往是瞬時(shí)規(guī)律或局部近似規(guī)律）建立微分方程;(3)提出定解條件;(4)求定解問題的解;(5)分析解的性質(zhì)，用實(shí)踐檢驗(yàn)解的正確性.二.課堂練習(xí)(除補(bǔ)充題

7、外,均選自復(fù)習(xí)題12)1.填空題１９１９(1)已知及是方程的解,則其通解為.解:因,都是解,且線性無(wú)關(guān),故是通解.(2)設(shè)一質(zhì)量為的物體,在空氣中由靜止開始下落.若空氣阻力為,則其下落的距離所滿足的微分方程是,初始條件是.解:因?yàn)?而,,,故得方程,化簡(jiǎn)得;在如圖所示的坐標(biāo)系下,初始條件為.(3)微分方程的特解的形式為.解:因?yàn)樘卣鞣匠虨?,而是二重特征根,故應(yīng)設(shè).(4)若都是線性非齊次微分方程的解,則其通解為.解:由線性非齊次方程的解與對(duì)應(yīng)的齊次方程解的關(guān)系可知,,