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《高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之常微分方程部分.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、１第11章常微分方程習(xí)題課一.內(nèi)容提要1.基本概念含有一元未知函數(shù)y(x)(即待求函數(shù))的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,稱(chēng)為常微分方程;其中出現(xiàn)的y(x)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為此微分方程的階;使微分方程在區(qū)間I上成為恒等式的函數(shù)y(x)稱(chēng)為此微分方程在I上的解;顯然一個(gè)微分方程若有解,則必有無(wú)窮多解;若n階微分方程的解中含有n個(gè)不可合并的任意常數(shù),則稱(chēng)其為此微分方程的通解;利用n個(gè)獨(dú)立的附加條件(稱(chēng)為定解條件)定出了所有任意常數(shù)的解稱(chēng)為特解;微分方程連同定解條件一起,合稱(chēng)為一個(gè)定解問(wèn)題;當(dāng)定解條件是初始條件(給出y,y,
2、,y(n1)在同一點(diǎn)x0處的值)時(shí),稱(chēng)為初值問(wèn)題.2.一階微分方程yf(x,y)的解法(1)對(duì)于可分離變量方程dy(x)(y),dx先分離變量(當(dāng)(y)0時(shí))得dy(x)dx,ψ(y)再兩邊積分即得通解dy(x)dxC.(y)dyfy,x(2)對(duì)于齊次方程dx作變量代換y,即yxu,可將其化為可分離變量的方程,分xu離變量后,積分得dudxC再以y代替u便得到齊次方f(u)ux,x１２程的通解.(3)形如dyf(axbyc)的方程,dxa1xb1yc1①若c,c1均為零,則是齊次方程;②若c,c1不全為零,則
3、不是齊次方程,但當(dāng)abk時(shí),只要作變換va1xb1y,即可化為可分離a1b1變量的方程dvb1f(kvc)a1;dxvc1當(dāng)ab時(shí),只要作平移變換Xxx0,即a1b1Yyy0xXx0(其中(x0,y0)是線性方程組axbyc0的惟一yYy0a1xb1yc10解),便可化為齊次方程dYf(aXbY).dXa1Xb1Y(4)全微分方程若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0之左端是某個(gè)二元函數(shù)uu(x,y)的全微分,則稱(chēng)其為全微分方程,顯然u(x,y)C即為通解,而原函數(shù)u(x,y)可用曲線積分法、不定積分法或觀
4、察法求得.通常用充要條件PQ來(lái)判定P(x,y)dxQ(x,y)dy0是否yx為全微分方程.對(duì)于某些不是全微分方程的P(x,y)dxQ(x,y)dy0,可乘上一個(gè)函數(shù)(,x,y)使之成為全微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0２３(注意到當(dāng)(x,y)0時(shí)P(x,y)dxQ(x,y)dy0與原方程同解),并稱(chēng)(,x,y)為積分因子;一般說(shuō)來(lái),求積分因子比較困難,但有時(shí)可通過(guò)觀察得到.(5)一階線性微分方程yp(x)yQ(x)的通解公式當(dāng)Q(x)不恒為零時(shí),稱(chēng)其為一階線性非齊次微分方程;當(dāng)Q(x)恒為零,時(shí),即
5、yp(x)y0稱(chēng)為一階線性齊次微分方程,這是一個(gè)可分離變量的方程,易知其通解為YCep(x)dx;由此用“常數(shù)變易法”即可得到非齊次微分方程的通解yep(x)dx(CQ(x)ep(x)dxdx).(6)對(duì)于Bernoulli方程yp(x)yQ(x)yn(n0,1),只需作變換zy1n,即可化為一階線性方程dz(1n)p(x)z(1n)Q(x).dx3.高階方程的降階解法以下三種方程可通過(guò)變量代換降成一階方程再求解:(1)對(duì)于方程y(n)f(x),令zy(n1)化為zf(x);在實(shí)際求解中,只要對(duì)方程連續(xù)積分n
6、次,即得其通解ydxf(x)dxC1xn1Cn1xCn.n次(2)對(duì)于yf(x,y)(不顯含y),作變換Py,則yP,于是化一階方程Pf(x,P);顯然對(duì)y(n)f(x,y(n1))可作類(lèi)似處理.(3)對(duì)于yf(y,y)(不顯含x),作變換Py,則yPdP,于是dy可化為一階方程PdPf(y,P).dy３４4.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)線性齊次微分方程解的性質(zhì)對(duì)于線性齊次微分方程來(lái)說(shuō),解的線性組合仍然是解.(2)線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)若y1,y2,,yn是n階線性齊次微分方程的線性無(wú)關(guān)的解,則其通解為Yc1
7、y1c2y2cnyn.(3)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次微分方程的通解y,等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y與其自身的一個(gè)特解y之和,即yYy.(4)線性非齊次微分方程的疊加原理1設(shè)yk(k1,2,,m)是方程y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yfk(x)m的解,則yk是方程k1y(n)p1(x)y(n1)mpn1(x)ypn(x)yfk(x)k1的解.2若實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)u(x)iv(x)是方程y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf1(x)if2(x)的解,則此解的實(shí)部
8、u(x)是方程y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf1(x)的解;虛部v(x)是方程４５y(n)p1(x)y(n1)pn1(x)ypn(x)yf2(x)的解.(5)線性非齊次方程的解與對(duì)應(yīng)的齊次方程解的關(guān)系線性非齊次方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解.5.常系數(shù)線性微分方程的解法(1)求常系數(shù)線性齊次微分方程通解的“特征根法”1寫(xiě)出y(n)p1y(n1)pn1ypny0的特征方
