初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(18)

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1、初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（18）反證法內(nèi)容提要1.反證法是一種間接的證明方法。它的根據(jù)是原命題和逆否命題是等價(jià)命題，當(dāng)一個(gè)命題不易直接證明時(shí)，釆取證明它的逆否命題。2.一個(gè)命題和它的逆否命題是等價(jià)命題，可表示為：A→B例如　　原命題：對(duì)頂角相等　(真命題)逆否命題：不相等的角不可能是對(duì)頂角　(真命題)又如　　原命題：同位角相等，兩直線平行　(真命題)　　逆否命題：兩直線不平行，它們的同位角必不相等　(真命題)3.用反證法證明命題，一般有三個(gè)步驟：①反設(shè)　假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立）②歸謬　推出矛盾（和已知或?qū)W過的定義、定理、公理相矛盾）③

2、結(jié)論　從而得出命題結(jié)論正確例如：　求證兩直線平行。用反證法證明時(shí)①假設(shè)這兩直線不平行；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③從而肯定，非平行不可。例題例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行　已知：如圖∠1＝∠2　　　　　　　A　　　　　　1　　　B　　　　　　求證：AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　證明：設(shè)AB與CD不平行　　　　　C　　　　2　　　　　D　　　　　　　　那么它們必相交，設(shè)交點(diǎn)為M　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　這時(shí)，∠1是△GHM的外角　　　　A　　　　　1　　M　　　B　

3、　　　　　　　　　∴∠1＞∠2　　　　　　　　　　　　　　　G　　　　　　這與已知條件相矛盾　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　∴AB與CD不平行的假設(shè)不能成立　　H　　　　　　　　　　∴AB∥CD　　　　　　　　　　　　C例2.求證兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)證明：假設(shè)兩條直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)，那么這兩條直線都經(jīng)過相同的兩個(gè)點(diǎn)，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設(shè)不能成立，因此兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。?。◤囊陨蟽衫闯?，證明中的三個(gè)步驟，最關(guān)鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設(shè)”也要認(rèn)真對(duì)待）。例3.已知：m2

4、是3的倍數(shù)，求證：m也是3的倍數(shù)證明：設(shè)m不是3的倍數(shù)，那么有兩種情況：m=3k+1或m=3k+2(k是整數(shù))當(dāng)　m=3k+1時(shí)，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　當(dāng)　m=3k+2時(shí)，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1即不論哪一種，都推出m2不是3的倍數(shù)，這和已知條件相矛盾，所以假設(shè)不能成立。∴　m2是3的倍數(shù)時(shí)，m也是3的倍數(shù)例4.求證：不是有理數(shù)證明：假設(shè)是有理數(shù)，那么?。健。╝，b是互質(zhì)的整數(shù)），∵=，∴（）2＝2，a2=2b2，∴a2是偶數(shù)，∵a2是偶數(shù)，∴a也是偶數(shù)，設(shè)a=2

5、k（k是整數(shù)），　a2=4k2，∵由a2=2b2，得b2=a2=2k2，b2是偶數(shù)，∴b也是偶數(shù)那么a、b都是偶數(shù)，這和“a，b是互質(zhì)數(shù)”的條件相矛盾，故假設(shè)不能成立∴不是有理數(shù)例5.若n是正整數(shù)，則分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù)（即最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，分子與分母沒有公約數(shù)）證明：設(shè)不是既約分?jǐn)?shù)，那么它的分子、分母有公約數(shù)，設(shè)公約數(shù)為k（k≠1），且k，a，b都是正整數(shù)，即∴＝，　3bk-2ak=1，　(3b-2a)k=1∵整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，且只有乘數(shù)和被乘數(shù)都是±1時(shí)，積才能等于1　　　∴3b-2a=±1，　　　k=±1∴分子、分母有公約數(shù)的假設(shè)不能成立因此分?jǐn)?shù)是既約分

6、數(shù)練習(xí)1.寫出下列各命題結(jié)論的反面：命題的結(jié)論　　結(jié)論的反面①直線a∥b②線段m=n③a2是偶數(shù)④∠A是銳角⑤點(diǎn)A在⊙O上⑥∠A，∠B，∠C至少有1個(gè)大于或等于60⑦正整數(shù)m是5的倍數(shù)⑧方程沒有有理數(shù)根?、嶂辽儆幸粋€(gè)方程兩根不相等2.　已知：平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)A，B，C滿足AB＋BC＝AC，求證：A，B，C三點(diǎn)在同一直線上3.求證：等腰三角形的底角是銳角1.求證：一個(gè)圓的圓心只有一個(gè)　2.求證：三角形至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60度　　3.如果a2奇數(shù)，那么a也是奇數(shù)?。ǚ吕?）4.求證：沒有一個(gè)有理數(shù)的平方等于3(仿例4)5.已知a，b，c都是正整數(shù)，且a2+

7、b2=c2(即a，b，c是勾股數(shù))求證①a，b，c至少有一個(gè)偶數(shù)②a，b，c中至少有一個(gè)能被3整除9.求證二元一次方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解10.求證方程x2+y2=1991沒有整數(shù)解11.把1600?；ㄉ纸o100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一樣多12.已知：四邊形ABCD中，AB+BD≤AC+CD求證：AB

8、0沒有有理數(shù)根15平面內(nèi)7個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離都不相等，求證不存在6個(gè)點(diǎn)到第7個(gè)