參數(shù)取值問題求解策略

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1、參數(shù)取值問題求解策略參數(shù)的取值范圍的問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)里比比皆是，主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1．已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x

2、2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴a+5>3即>a+2，上式等價(jià)于或，解得a<8.說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,則t[1,1],整理得2t24t+4a+>0,(t[1,1])恒成立。設(shè)f(t)=2t24t+4a+則二次函數(shù)

3、的對(duì)稱軸為t=1,f(x)在[1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2．設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展,問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.所求量的取值范圍把直線l的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA=f（k），xB=g（k）得到所求量關(guān)于k的函

4、數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB=—（xA/xB）由判別式得出k的取值范圍思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量——直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，，，所以===.由,解得，所以，把直線l的方程y=kx+3代入

5、橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+xB=f（k），xAxB=g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB=—（xA/xB）由判別式得出k的取值范圍綜上.思路2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消

6、去得（*）則令，則，在（*）中，由判別式可得，從而有，所以，解得.結(jié)合得.綜上，.說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例3．當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2

7、分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,a>1,1

8、p

9、2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[2，2]

10、內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,設(shè)f(p)=