輸出時(shí)滯控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)

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1、輸出時(shí)滯控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)邵敏強(qiáng)陳衛(wèi)東（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）摘要考慮濾波器時(shí)滯對(duì)受控系統(tǒng)的影響，研究受控輸出時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。根據(jù)穩(wěn)定性切換理論，確定多自由度受控系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)滯區(qū)域。經(jīng)過(guò)分析獲得受控系統(tǒng)脈沖響應(yīng)衰減時(shí)間接近最短時(shí)的時(shí)滯量，在此基礎(chǔ)上采用時(shí)滯引入法和濾波器設(shè)計(jì)法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。結(jié)合懸臂梁模型進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)果表明：根據(jù)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析設(shè)計(jì)的控制器能夠使受控系統(tǒng)脈沖響應(yīng)衰減速度提高80%以上，有效改善系統(tǒng)的控制效果和穩(wěn)定性能。關(guān)鍵詞：振動(dòng)主動(dòng)控制；LQ控制；時(shí)滯；穩(wěn)

2、定性切換；濾波器中圖分類號(hào)：O321328文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A9引言時(shí)滯現(xiàn)象在振動(dòng)主動(dòng)控制中普遍存在，如響應(yīng)信號(hào)采集、在線數(shù)據(jù)處理和控制力的計(jì)算等，都會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯[1]。控制系統(tǒng)中的時(shí)滯主要有兩種，一是由系統(tǒng)硬件產(chǎn)生，包括信號(hào)采集或測(cè)試儀器、信號(hào)轉(zhuǎn)換設(shè)備等帶來(lái)的時(shí)滯；二是由控制算法或信號(hào)處理方法本身產(chǎn)生的時(shí)滯，如濾波器群時(shí)延[2]。時(shí)滯問(wèn)題的研究主要包括時(shí)滯消除和利用兩個(gè)方面[3]，在時(shí)滯消除的研究方面，最早人們普遍認(rèn)為時(shí)滯會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)不利影響，使系統(tǒng)控制效果下降，甚至導(dǎo)致失穩(wěn)。一些處理手段如泰勒展開，狀態(tài)預(yù)估等方法[4,5]不斷被提出，在處理小時(shí)

3、滯量的問(wèn)題上取得了顯著的效果。李衛(wèi)等[6]針對(duì)輸入時(shí)滯系統(tǒng)，在進(jìn)行離散化之后采用擴(kuò)維方法將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為不含時(shí)滯的標(biāo)準(zhǔn)離散狀態(tài)方程，結(jié)合線性二次型(LinearQuadratic,LQ)最優(yōu)控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，解決了任意時(shí)滯情況下的控制問(wèn)題。Cai等[7,8]對(duì)該方法進(jìn)行更加深入的研究，并應(yīng)用于三層樓模型的振動(dòng)主動(dòng)控制。該受控系統(tǒng)的時(shí)滯主要來(lái)源于作動(dòng)器輸出與輸入之間的時(shí)間延遲。在此基礎(chǔ)上，Haraguchi等[9]進(jìn)一步研究了任意輸入時(shí)滯影響下離散系統(tǒng)的控制問(wèn)題，所提出的方法在原時(shí)滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)換至不帶時(shí)滯的離散狀態(tài)方程的過(guò)程中無(wú)需增加維數(shù)，避免

4、了擴(kuò)維，大大減少了計(jì)算工作量。仿真結(jié)果表明，既使在狀態(tài)不完全可測(cè)的情況下，對(duì)應(yīng)的控制器仍具有良好的振動(dòng)控制性能。在時(shí)滯利用方面，旨在通過(guò)控制律設(shè)計(jì)和時(shí)滯量選擇，確?？刂破鞑粌H能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)，還能有效抑制外擾作用時(shí)受控系統(tǒng)的振動(dòng)幅度。過(guò)去20年，時(shí)滯反饋控制作為振動(dòng)控制領(lǐng)域的一個(gè)活躍分支，取得了許多標(biāo)志性成果。例如，Sipahi和Olgac用直接法研究了一般形式的時(shí)滯反饋振動(dòng)主動(dòng)控制問(wèn)題[10,11]；Udwadia等[12]研究了主動(dòng)增加時(shí)滯在提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制效果方面的作用，分別討論了時(shí)滯對(duì)典型和非典型阻尼系統(tǒng)的影響。研究結(jié)果表明，在受控

5、系統(tǒng)中適當(dāng)增加時(shí)滯能夠同時(shí)提高控制器的穩(wěn)定性和控制效果。文中以無(wú)時(shí)滯狀態(tài)下的LQ控制為基礎(chǔ)，分析濾波器時(shí)滯對(duì)受控系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響。結(jié)合濾波器通帶范圍內(nèi)相頻特性的近似線性關(guān)系，將其產(chǎn)生的時(shí)滯簡(jiǎn)化為不隨信號(hào)頻率變化的固定時(shí)滯，得到輸出時(shí)滯恒定的系統(tǒng)。針對(duì)這一系統(tǒng)，采用穩(wěn)定性切換理論[13]進(jìn)行穩(wěn)定性分析，確定穩(wěn)定和非穩(wěn)定時(shí)滯區(qū)域。然后，進(jìn)一步在穩(wěn)定時(shí)滯區(qū)域內(nèi)分析能夠?qū)崿F(xiàn)有效控制的時(shí)滯區(qū)域，獲得使系統(tǒng)達(dá)到最佳控制效果的時(shí)滯量。在此基礎(chǔ)上，提出調(diào)節(jié)系統(tǒng)時(shí)滯的控制器設(shè)計(jì)方法，確保系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)有效改善系統(tǒng)控制效果。在進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)采用懸臂梁有限元

6、模型作為受控對(duì)象，根據(jù)輸入和輸出的位置，將多自由度系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換為輸入輸出方程，有效簡(jiǎn)化系統(tǒng)的復(fù)雜程度，提高運(yùn)行效率。1無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)LQ控制1.1狀態(tài)反饋LQ控制針對(duì)由計(jì)算機(jī)執(zhí)行的控制系統(tǒng)，可以視為離散時(shí)間的控制范疇。離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為[7,9](1)其中，、分別為維狀態(tài)向量和維控制向量，為維輸出向量，，，。若系統(tǒng)輸出為全部狀態(tài)，則?？梢圆捎肔Q最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)控制器，具體形式表示為9(2)其中，為正定對(duì)稱矩陣，滿足黎卡提方程(3)該全狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為(4)其中，、分別為和維權(quán)矩陣，且，。1.2輸出反饋LQ控制在實(shí)際

7、應(yīng)用中通常無(wú)法測(cè)量受控對(duì)象的全部狀態(tài)，系統(tǒng)輸出為部分狀態(tài)，即。對(duì)于這種情況，要得到系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制，則首先需要估計(jì)系統(tǒng)未知狀態(tài)，控制律可以表示成，其中為估計(jì)狀態(tài)。為避免由狀態(tài)估計(jì)導(dǎo)致的計(jì)算量大幅提升，這里采用降低系統(tǒng)維數(shù)的辦法將狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為輸入輸出方程。同時(shí)在方程(1a)兩邊左乘向量，可得(8)求矩陣的Moore-Penrose廣義逆[15](9)其中，和是正交矩陣，，且的奇異值分解為。結(jié)合式(9)，將式(1b)代入式(8)，整理可得輸入輸出方程(10)其中，，。根據(jù)式(10)建立目標(biāo)函數(shù)(11)其中，、分別為和維權(quán)矩陣，且，。使目

8、標(biāo)函數(shù)取得最小的反饋控制增益為(12)其中，為正定對(duì)稱矩陣，且滿足黎卡提方程(13)此時(shí)，使方程(10)取得最優(yōu)的控制輸入為(14)2濾波器時(shí)滯對(duì)LQ控制的影響2.1濾波器時(shí)滯為