變量可分離型的三維定態(tài)問題

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1、第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題36第五章目錄§5.1有心勢3(1)不顯含時(shí)間的方程解在的漸近行為4(2)三維自由粒子運(yùn)動(dòng)5(3)球方勢阱8(4)氫原子13(5)類氫離子22§5.2Hellmann－Feynman定理23§5.3三維各向同性諧振子25§5.4帶電粒子在外電磁場中的薛定諤方程，恒定均勻場中帶電粒子運(yùn)動(dòng)28(1)帶電粒子在外電磁場中的28(2)正常塞曼效應(yīng)（NormalZeemanEffect）30(3)帶電粒子在均勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)32(4)磁通量的量子化3336第五章變量可分離型的三維定

2、態(tài)問題對體系，我們可根據(jù)進(jìn)行完全描述，當(dāng)我們知道初態(tài)，便可求出。當(dāng)不顯含t時(shí)，有特解。所以通解為，而可由t=0時(shí)的初始態(tài)求出。我們討論一些特殊位勢下的三維問題，即變量可分離型的位勢問題。§5.1有心勢這是一種特殊形式的位勢，是空間各向同性的，即。當(dāng)粒子在該力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量本征方程可寫為而。我們可看到，因此，是兩兩對易。當(dāng)共同本征函數(shù)組不簡并時(shí)，它們構(gòu)成一組力學(xué)量完全集（球?qū)ΨQ勢的體系都有這一特點(diǎn)）。36所以，我們可以以的本征值（即量子數(shù)）對能量本征方程的特解進(jìn)行分類。即以完全集的力學(xué)量的量子數(shù)來標(biāo)記

3、能量本征函數(shù)。令于是有，得，即得。為了求解下的能量本征方程解。我們先要了解邊條件的性質(zhì)。(1)不顯含時(shí)間的方程解在的漸近行為A．若時(shí)，僅當(dāng)時(shí)才確有束縛態(tài)。根據(jù)維里定理（VirialTheorem），如是x,y,z的n次齊次函數(shù)，則有（在定態(tài)上）。對于上述勢。而。但在這類位勢下，束縛態(tài)，所以存在束縛態(tài)的條件為,即僅當(dāng)時(shí)，才有束縛態(tài)。B．在時(shí)，徑向波函數(shù)應(yīng)滿足由徑向方程。當(dāng)時(shí)，方程的漸近式為。36于是，若有漸近解為，則有，可得解。對于漸近行為為，則而對于漸近行為為，顯然不滿足平方可積，即，而它在時(shí)，比快。對

4、，，即。但顯然，在附近，不是解。因（對任何都應(yīng)滿足），但這就要求，這顯然不被滿足。所以，在時(shí)，的漸近行為應(yīng)為（即），也即（2）三維自由粒子運(yùn)動(dòng)因，所以可選力學(xué)量完全集（，于是有。令36。這即為球貝塞爾函數(shù)滿足的方程。而要處為有限的解是；而在處為無窮的解是。，；，，。由于的條件，所以自由粒子的本征函數(shù)為，三維自由粒子的能譜形成一連續(xù)譜?，F(xiàn)對所得結(jié)果進(jìn)行討論：我們知道，自由粒子，其哈密頓量，并且，36所以，它們既是運(yùn)動(dòng)常數(shù)又彼此對易。因此，選它們作為力學(xué)量完全集是比較好的。其共同本征函數(shù)或。而前述，作為力學(xué)

5、量完全集，有共同本征函數(shù)組，它當(dāng)然是完備的。因此，可按它展開如取方向在方向（即為軸），則（即與無關(guān)）=。對求導(dǎo)得由遞推關(guān)系,于是有36比較系數(shù)有。而當(dāng)時(shí)，，但。于是當(dāng)在任意方向，則（之間夾角）。由所以，,即得36。這即平面波按分波展開（固定）（3）球方勢阱考慮位勢為令其徑向方程為A.令，則有在區(qū)域，并不要求處有界，所以,應(yīng)為兩個(gè)解的線性組合。但要求波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為，即當(dāng)有,36則，即,于是有其中要求兩區(qū)域的波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，即，從而確定的可能值，即本征值。下面討論的解。當(dāng)，則有令，，則由連續(xù)條件

6、得，36以及。顯然，在二，四象限。討論：1）由圖可知，，則無解；2）當(dāng)，則僅有一個(gè)解。這時(shí)。所以，在區(qū)間無節(jié)點(diǎn)。3）當(dāng)，有二個(gè)解一個(gè)解，無零點(diǎn)；另一個(gè)解。所以，。有一個(gè)零點(diǎn)。歸一化系數(shù)，可經(jīng)由方程給出當(dāng)，，這時(shí)區(qū)域的波函數(shù)為。由連續(xù)條件，，即有根。lnr1230π2π3π15.769.10…26.9910.42…B．當(dāng)36令，無妨設(shè)，則由事實(shí)上，對于自由粒子。所以，力場的性質(zhì)反映在上）由的連續(xù)條件如令（微商對宗量）36則有當(dāng)給定（即給定），則由方程給出一系列。所以，當(dāng)時(shí)，有一連續(xù)譜。這時(shí)，有漸近解與自由

7、粒子比較可以看出，力場對粒子作用，主要反映在上，即上，改變出射波的位相（至于和僅反映粒子在不同位勢時(shí)的波數(shù)不同）。（4）氫原子氫原子是最簡單的原子，但它反映出典型的兩體問題A.兩體問題的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的分離質(zhì)量為和的兩個(gè)物體，若相互作用僅與它們的位置差有關(guān)。，這時(shí)，引入相對運(yùn)動(dòng)和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)于是有（），36（），，（為））于是有，這樣一個(gè)體系可看作二部分運(yùn)動(dòng)合成，一是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，它是自由運(yùn)動(dòng)；另一個(gè)是相對運(yùn)動(dòng)。是一個(gè)質(zhì)量為的粒子在勢場中運(yùn)動(dòng)。令為一特解，得。直接得而相對運(yùn)動(dòng)部分為所以，處于位勢為的體系，最普遍的波函

8、數(shù)為。以后表達(dá)式都是內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量是約化質(zhì)量。B.氫原子：相互作用只與質(zhì)子和電子的距離有關(guān)于是有36根據(jù)分離變數(shù)（要求，當(dāng)，）代入得要求為束縛態(tài)，則E<0。令，于是當(dāng)，方程近似為，所以；當(dāng)，方程近似為，所以，。前已討論，取令(并要求)，代入方程得36。這是一合流超比方程，它有解和，稱為合流超比函數(shù)。當(dāng)大時(shí)，其相近兩項(xiàng)系數(shù)之比：/所以，相鄰系數(shù)比與冪級(jí)數(shù)系數(shù)之比相同.這樣，合流超比函數(shù)在P大時(shí)的漸近行為與行為一致。這就使得。要使在大時(shí)，其行為