復(fù)變函數(shù)及幾何表示

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1、復(fù)變函數(shù)與積分變換任課教師——金彩云課件作業(yè)答疑考試第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根§1.4區(qū)域§1.5復(fù)變函數(shù)§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點(diǎn)來看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它

2、也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分.(1)代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.說:實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動(dòng)等問題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變(4)應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計(jì)算滲流問題.例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.例如：熱爐中溫度的計(jì)算.最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算,從而研究機(jī)翼的造型問題.(

3、8)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．Fourier變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換,通過特定形式的積分建立函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.它既能簡(jiǎn)化計(jì)算(如解微分方程或化卷積為乘積等)，又具有明確的物理意義(從頻譜的角度來描述函數(shù)的特征),因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.離散和快速Fourier變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要．主要內(nèi)容本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算、平面點(diǎn)集的概念.然后討論復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性.一復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要

4、,人們引進(jìn)了復(fù)數(shù).例如，簡(jiǎn)單的代數(shù)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數(shù)稱為復(fù)數(shù)：由虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)復(fù)合而成的數(shù)z=x+iy或z=x+yi，其中x和y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位。純虛數(shù)：實(shí)數(shù)：實(shí)部：虛部：realimaginary二復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算注意：復(fù)數(shù)不能比較大小.相等：設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.設(shè)復(fù)數(shù)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，則(1)復(fù)數(shù)的和與差(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商顯然,z=x+yi是x

5、-yi的共軛復(fù)數(shù),即共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x-yi稱為復(fù)數(shù)z=x+yi的共軛復(fù)數(shù)(其中x,y均為實(shí)數(shù)),并記做.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律2.結(jié)合律3.分配律共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)例2設(shè)求與例1設(shè)求與例3設(shè)為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，證明補(bǔ)例對(duì)求?！臁?.2復(fù)數(shù)的幾何表示一,復(fù)數(shù)的幾何表示這時(shí)把xOy平面稱為復(fù)平面.有時(shí)簡(jiǎn)稱為z平面.稱x軸為實(shí)軸,y軸為虛軸.復(fù)數(shù)z=x+yi與二元有序數(shù)組（x,y）一一對(duì)應(yīng)。二元有序數(shù)組（x,y）與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P（x,y）一一對(duì)應(yīng)。因此復(fù)數(shù)z=x+yi與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P(x,y)一一對(duì)應(yīng)。P復(fù)數(shù)z=x+yi還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)P

6、(x,y)的平面向量一一對(duì)應(yīng)，因此復(fù)數(shù)z也可用向量來表示(如圖).把向量的長(zhǎng)度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對(duì)值,并記做

7、z

8、.顯然如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)(即),那么把以x軸的正向?yàn)槭歼?，以表示z的向量為終邊的角的弧度數(shù)q稱為復(fù)數(shù)z的輻角,記做Argz=θ.對(duì)每個(gè),都有無窮多個(gè)輻角,如果用q1表示復(fù)數(shù)z的一個(gè)輻角時(shí),就是z的輻角的一般表達(dá)式.輻角的輻角；但當(dāng)z=0時(shí),

9、z

10、=0.滿足的復(fù)數(shù)z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則當(dāng)z=0時(shí),Argz沒有意義,即零向量沒有確定輻角主值當(dāng)時(shí),有輻角主值的求法例：求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值