復(fù)變函數(shù)課件--復(fù)變函數(shù)3復(fù)變函數(shù)的積分

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1、第三章復(fù)變函數(shù)的積分（與實(shí)函數(shù)中二型線積分類(lèi)比）§3.1復(fù)積分的概念線積分復(fù)積分一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分dz?1課件復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：復(fù)積分的性質(zhì)：1線性性：2課件例題1（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針?lè)较虻膯挝话雸A周。解（1）3課件（2）參數(shù)方程為可見(jiàn)積分與路徑有關(guān)。例題2解：4課件例如例題3證明：例如練習(xí)5課件例題4解：可見(jiàn)，積分與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。6課件§3.2柯西積分定理定理1（Cauchy）如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積

2、分為零:注1：定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。7課件于是是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)特別地例如：注：以上討論中D為單連通域。這里D為復(fù)連通域。8課件可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況定理2假設(shè)C及C1為任意兩條

3、簡(jiǎn)單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說(shuō)明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理9課件推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，所圍成的多連通區(qū)域，10課件例題1C如圖所示：解：存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。從而例題2C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：11課件（由閉路變形原理）12課件§3.3柯西積分公式若f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.

4、定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則---解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。13課件[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當(dāng)

5、z-z0

6、

7、f(z)-f(z0)

8、

9、z-z0

10、=R全部在C的內(nèi)部,且R

11、成為------一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設(shè)f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則15課件例題1解：16課件§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.17課件定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線,

12、而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即因此就是要證18課件按柯西積分公式有因此19課件現(xiàn)要證當(dāng)Dz?0時(shí)I?0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有

13、f(z)

14、?M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取

15、Dz

16、適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足

17、Dz

18、

19、分的值,其中C為正向圓周:

20、z

21、=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.22課件Cauchy不等式：證明：注1：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小有關(guān)；注2：23課件Liouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對(duì)復(fù)平面上任一點(diǎn)z，24課件最大模原理：設(shè)D為有界單連通或復(fù)閉路多連通區(qū)域，證明：注：25課件26課件27課件28課件29課件30課件31課件32課件33課件