復(fù)變函數(shù)與積分變換第3章復(fù)變函數(shù)的積分

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第3章復(fù)變函數(shù)的積分本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解復(fù)變函數(shù)積分的概念;2、了解復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì);3、掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識(shí);4、熟練掌握柯西—古薩基本定理;5、會(huì)用復(fù)合閉路定理解決一些問題;6、會(huì)用柯西積分公式;7、會(huì)求解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù). 第3章復(fù)變函數(shù)的積分3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念 3.1.1復(fù)積分的定義本章中,我們將給出復(fù)變函數(shù)積分的概念,然后討論解析函數(shù)積分的性質(zhì),其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ),借助于這些性質(zhì),我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。同高等數(shù)學(xué)一樣，也采用“分割”、“作和”、“取極限”的步驟定義復(fù)變函數(shù)的積分。 3.1.2復(fù)積分存在的一個(gè)條件與計(jì)算1)當(dāng)是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。 3.1.3積分的性質(zhì)從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，它們是與實(shí)變函數(shù)中曲線積分的性質(zhì)相類似的.我們把簡(jiǎn)單閉曲線的兩個(gè)方向規(guī)定為正向和負(fù)向.所謂簡(jiǎn)單閉曲線的正向是指當(dāng)順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，曲線的內(nèi)部始終位于曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡(jiǎn)單閉曲線的負(fù)向.以后遇到積分路線為簡(jiǎn)單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向. 3.1.3積分的性質(zhì)1、（為復(fù)常數(shù)）2、3、4、（由與首尾相接而成） 5、設(shè)為的長(zhǎng)度,若沿可積,且在上滿足,則這個(gè)性質(zhì)提供了一種估計(jì)復(fù)變函數(shù)積分的模的方法 例1計(jì)算其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解直線的方程可寫成又因?yàn)槿菀昨?yàn)證，右邊兩個(gè)線積分都與路線無關(guān)，所以的值無論是怎樣的曲線都等于 例2計(jì)算其中為以中心，為半徑的正向圓周,為整數(shù).解:的方程可寫成所以因此 例3計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段解 例4計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。解: 第3章復(fù)變函數(shù)的積分3.2積分基本定理 3.2.1單連通區(qū)域的柯西定理——柯西—古薩基本定理積分的值與路經(jīng)無關(guān)，或沿封閉的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).柯西—古薩（Cauchy—Goursat）基本定理如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)沿其內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線的積分值為零。即 幾個(gè)等價(jià)定理定理一如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，那末積分與連結(jié)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路線無關(guān).定理二如果函數(shù)在單通連域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)必為內(nèi)的解析函數(shù),并且 3.2.2復(fù)連通區(qū)域的柯西定理——復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理設(shè)有圍線，其中的每一條均在其余各條的外部，而它們又全部在的內(nèi)部；設(shè)為由的內(nèi)部與的外部相交部分組成的復(fù)連通區(qū)域，若在內(nèi)解析且在上連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實(shí)，稱為閉路變形原理. 例1計(jì)算的值，為包含圓周在內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。解: 第3章復(fù)變函數(shù)的積分3.3積分基本公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 3.3.1柯西積分基本公式定理(柯西積分公式)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于,為內(nèi)部的任一點(diǎn),那末公式稱為柯西積分公式.通過這個(gè)公式就可以把一個(gè)函數(shù)在內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值來表示. 例1計(jì)算(沿圓周正向)解由柯西積分公式得 例2計(jì)算(沿圓周正向)解由柯西積分公式得 柯西積分公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式,是研究解析函數(shù)的有力工具.(見3.3.2解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)).一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值. 3.3.2解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下面的定理 定理解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的階導(dǎo)數(shù)為:其中為在函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于. 例3計(jì)算其中為正向圓周:解:由公式得 第3章復(fù)變函數(shù)的積分3.4原函數(shù)與不定積分 原函數(shù)的概念下面，我們?cè)賮碛懻摻馕龊瘮?shù)積分的計(jì)算。首先引入原函數(shù)的概念：結(jié)論：的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。利用原函數(shù)的這個(gè)關(guān)系，我們可以推得與牛頓—萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計(jì)算公式。 定理如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，為的一個(gè)原函數(shù)，那么這里為區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)。 例1計(jì)算解： 例2計(jì)算解： 例3計(jì)算解： 例4計(jì)算解：