大學(xué)復(fù)變函數(shù)課件-復(fù)變函數(shù).doc

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1、第二章復(fù)變函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)的概念及C.-R.方程1、導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)定義2.1：設(shè)是在區(qū)域內(nèi)確定的單值函數(shù)，并且。如果極限存在，為復(fù)數(shù)，則稱在處可導(dǎo)或可微，極限稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，或。定義2.2：如果在及的某個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在處解析；如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，則我們稱在內(nèi)解析，也稱是的解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)一般記為或。注解1、語言，如果任給，可以找到一個與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時，，則稱在處可導(dǎo)。注解2、解析性與連續(xù)性：在一個點(diǎn)的可導(dǎo)的函數(shù)必然是這個點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)；反之不一定成立；注解3、解析性與可導(dǎo)性：在一個點(diǎn)的可導(dǎo)性是一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解4

2、、函數(shù)在一個點(diǎn)解析，是指在這個點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)解析，因此在此點(diǎn)可導(dǎo)；反之，在一個點(diǎn)的可導(dǎo)性不能得到在這個點(diǎn)解析。解析函數(shù)的四則運(yùn)算：和在區(qū)域內(nèi)解析，那么，，（分母不為零）也在區(qū)域內(nèi)解析，并且有下面的導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：。復(fù)合求導(dǎo)法則：設(shè)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，而且當(dāng)時，，那么復(fù)合函數(shù)在內(nèi)解析，并且有求導(dǎo)的例子：（1）、如果（常數(shù)），那么；（2）、，；（3）、的任何多項式在整個復(fù)平面解析，并且有（4）、在復(fù)平面上，任何有理函數(shù)，除去使分母為零的點(diǎn)外是解析的，它的導(dǎo)數(shù)的求法與是實(shí)變量時相同。2、柯西-黎曼條件可微復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部滿足下面的定理：定理2.1設(shè)函數(shù)

3、在區(qū)域內(nèi)確定，那么在點(diǎn)可微的充要條件是：1、實(shí)部和虛部在處可微；2、和滿足柯西-黎曼條件（簡稱方程）證明：（必要性）設(shè)在有導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)時其中，。比較上式的實(shí)部與虛部，得因此，由實(shí)變二元函數(shù)的可微性定義知，，在點(diǎn)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）設(shè)，在點(diǎn)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：設(shè)則由可微性的定義，有：令，當(dāng)（）時，有令，則有所以，在點(diǎn)可微的。定理2.2設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)確定，那么在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件是：1、實(shí)部和虛部在內(nèi)可微；2、)和在內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡稱方程）關(guān)于柯西-黎曼條件，有下面的注解：注解1、解析函數(shù)的實(shí)部與虛部不是完全獨(dú)立的，它們

4、是方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時得到的；注解2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡潔：公式可避免利用定義計算帶來的困難。注解3、利用兩個定理，可以判斷一個復(fù)變函數(shù)是否在一點(diǎn)可微或在一個區(qū)域內(nèi)解析。3、例題例1證明在任何點(diǎn)都不可微。解，四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，但任何點(diǎn)都不滿足方程，故在任何點(diǎn)都不可微。例2試討論定義于復(fù)平面內(nèi)的函數(shù)的可導(dǎo)性。解：四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，且在復(fù)平面內(nèi)滿足方程，故在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)。例3設(shè)函數(shù)在復(fù)平面可導(dǎo)，試確定常數(shù)之值。解由方程得（1）（2）由（1）得（3）由（2）得（4）（5）解（3），（4），（5）得。第二節(jié)初等解析函數(shù)1、冪函數(shù)利用對數(shù)函數(shù)，可以

5、定義冪函數(shù)：設(shè)是任何復(fù)數(shù)，則定義的次冪函數(shù)為當(dāng)為正實(shí)數(shù)，且時，還規(guī)定。由于因此，對同一個的不同數(shù)值的個數(shù)等于不同數(shù)值的因子個數(shù)。2、冪函數(shù)的基本性質(zhì)：1、由于對數(shù)函數(shù)的多值性，冪函數(shù)一般是一個多值函數(shù)；2、當(dāng)是正整數(shù)時，冪函數(shù)是一個單值函數(shù)；1、當(dāng)（當(dāng)是正整數(shù)）時，冪函數(shù)是一個值函數(shù)；2、當(dāng)是有理數(shù)時，冪函數(shù)是一個值函數(shù)；3、當(dāng)是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)是一個無窮值多值函數(shù)。設(shè)在區(qū)域內(nèi)，我們可以把分成無窮個解析分支。對于的一個解析分支，相應(yīng)地有一個單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，的這個單值連續(xù)分支在內(nèi)解析，并且,其中應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)的那個分支，應(yīng)當(dāng)理解為對數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支

6、。對應(yīng)于在內(nèi)任一解析分支：當(dāng)是整數(shù)時，在內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng)時，在G內(nèi)有個解析分支；當(dāng)是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)在內(nèi)有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數(shù)。例如當(dāng)是大于1的整數(shù)時，稱為根式函數(shù)，它是的反函數(shù)。當(dāng)時，有這是一個值函數(shù)。在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包括0）為割線而得得區(qū)域內(nèi)，它有個不同的解析分支：它們也可以記作，這些分支在負(fù)實(shí)軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。當(dāng)不是整數(shù)時，原點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)。但按照a是有理數(shù)或者不是有理數(shù)，這兩個支點(diǎn)具有完全不同的性質(zhì)。為了理解這些結(jié)論，我們在0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)，任作一條簡單閉曲線圍繞0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。在

7、上任取一點(diǎn)，確定在的一個值；相應(yīng)地確定,在的一個值?，F(xiàn)在考慮下列兩種情況：(1)是有理數(shù)，當(dāng)一點(diǎn)從出發(fā)按反時針或順時針方向連續(xù)變動周時，從連續(xù)變動到，而則從相應(yīng)地連續(xù)變動到,也即第一次回到了它從出發(fā)時的值。這時，我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的階支點(diǎn)，也稱為階代數(shù)支點(diǎn)。（2）不是有理數(shù)時，容易驗證原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的無窮階支點(diǎn)。當(dāng)不是整數(shù)時，由于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)，所以任取連接這兩個支點(diǎn)的一條簡單連續(xù)曲線作為割線，得一個區(qū)域。在內(nèi)，可以把分解成解析分支。關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)為正實(shí)數(shù)時的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)