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1、請問：紙牌這兩面的句子是對是錯？引例：紙牌的一面寫著：“紙牌反面的句子是對的?！倍硪幻鎱s寫著：“紙牌反面的句子是錯的。”悖論數學與應用數學孔婧竹悖論（一）概念（二）類型（三）經典數學悖論概念悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論。悖論的定義可以這樣表述：由一個被承認是真的命題為前提，設為B，進行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結論非B；反之，以非B為前提，進行正確的邏輯推理后，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。當然非
2、B也是一個悖論。最早的悖論被認為是古希臘的"說謊者悖論".悖論（一）概念（二）類型（三）經典數學悖論（二）類型悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計悖論和時間悖論等。邏輯悖論最著名的邏輯悖論是伯特納德·羅素提出的理發(fā)師悖論。一個理發(fā)師的招牌上寫著：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。誰給這位理發(fā)師刮臉呢？伯特納德·羅素提出這個悖論，為的是把他發(fā)現的關于集合的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。概率悖論概率悖論出自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中寫道：“有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第
3、三個人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執(zhí)者都這樣想：我知道我的領帶值多少。我也許會失去它，可是我也可能贏得一條更好的領帶，所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎么會對雙方都有利呢？錯！要不然怎么能有雙贏呢？很容易表明，如果我們做出一個明確的假定來準確地限定條件，它就是一個公正的比賽。當然，如果我們已經得知比賽中的一個人系較便宜的領帶，那么我們就知道這個比賽是不公平的。如果無法得到這類消息，我們就可以假定每一個的領帶價值從0到任意數量（比如說一百元）的隨便多少錢。如果我們按此假定構成一個兩人領帶價值的矩陣（這是克
4、萊特契克在他的書中列出的），我們就可看出這個比賽是“對稱的”，不會偏向任何一個比賽者。幾何悖論幾何悖論所構造的圖案是僅存在于2維平面世界里的圖形，是一種通過素描，線描等立體繪畫手法表現出3維立體世界中不可能存在的圖像。“不可能臺階”是由英國遺傳學家列昂尼爾·S·彭羅斯和他的兒子，數學家羅杰爾·彭羅斯發(fā)明的，后者于1958年把它公布于眾，人們常稱這臺階為“彭羅斯臺階”。在這個臺階里，永遠找不到最高階和最低階，“不可能臺階”永遠沒有盡頭。。。。。。統(tǒng)計悖論假定有三個人—阿貝爾、伯恩斯和克拉克競選總統(tǒng)。民意測驗表明，選舉人中有2/3愿意選A不愿選B
5、，有2/3愿選B不愿選C。是否愿選A不愿選C的最多？不一定！如果選舉人下表那樣排候選人，就會引起一個驚人的逆論。三分之一的人，對選舉人的喜好是：A，B，C；另外三分之一的人，對選舉人的喜好是：B，C，A；最后三分之一的人，對選舉人的喜好是：C，A，B。所以，有2/3寧愿選A而不愿選B；同樣，有2/3寧愿選B而不愿選C；有2/3寧愿選C而不愿選A！a>b,b>c,則a>c這個悖論可追溯到18世紀，選舉悖論使人迷惑，是因為我們以為“好惡”關系總是可傳遞的，但實際上它是一個非傳遞關系的典型。這條悖論有時稱為阿洛悖論，肯尼思·阿洛曾根據這條悖論和其他
6、邏輯理由證明了，一個十全十美的民主選舉系統(tǒng)在原則上是不可能實現的，他因此而分享了1972年諾貝爾經濟學獎金。時間悖論有關時間的悖論，最著名的是“芝諾悖論”。二分法。物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，這個要求可以無限的進行下去，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。中國古代也有類似的說法，如：“飛鳥之景，未嘗動也”這是中國名家惠施的命題，這就是不可抗拒的推理和不可回避的實事相沖突。問題的解決：這就是極限理論的誕生。十九世紀初，法國科學家以柯西為首建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限
7、理論成為微積分的堅定基礎，運動問題也得到了合理的解釋。可以想見，在微積分和極限理論發(fā)明或被接受以前，人們很難解釋這一運動佯謬。感官不同于思維，當希臘人用概念來判決現實的時候，如果邏輯與現實發(fā)生矛盾，芝諾指責感官為“欺騙”。在這個前提下，有多種“時間悖論”的表達方式。最為著名的“時間悖論”一般稱為“祖父悖論”：某人回到過去，在自己父親出生前殺害了自己的祖父。既然祖父已死，就不會有其父親，也不會有他；既然他不存在，又怎么能回到過去，殺死自己的祖父呢？與之對應的，既然有回到過去的悖論，也會有到達將來的“先知悖論”，表達如下：某人到達未來，得知將發(fā)生
8、的不幸結果A，他在現在做出了避免導致結果A的行動，到達結果B。那么結果A在未來根本沒有發(fā)生，他又是如何得知結果A的呢？（既A與B不可能相遇的悖論）就嚴肅的物理學理論
